Determinant cu parametru la BAC: operații pe linii

Un determinant cu parametru se simplifică adesea prin operații pe linii înainte de dezvoltare. Scăderea unei linii din alta poate crea zerouri și poate scoate la vedere factorii polinomului. Păstrează însă valorile parametrului care anulează un factor: tocmai ele pot fi cerute în problemă.

Lecția de BAC urmărește determinanți de ordinul trei, factorizare și condiții de inversabilitate. Folosește-o pentru profilul a cărui programă include aceste operații. În arhiva subiectelor de BAC poți compara formularea cerințelor; exemplele explicate aici sunt originale și pun accent pe alegerea operației potrivite.

Operații și efecte asupra determinantului

Operație	Efect
Schimbi două linii între ele	determinantul își schimbă semnul
Înmulțești o linie cu un scalar	determinantul se înmulțește cu acel scalar
Aduni unei linii un multiplu al altei linii	determinantul rămâne neschimbat
Două linii devin egale	determinantul este zero
Matricea devine triunghiulară	determinantul este produsul diagonalei

Aceleași proprietăți sunt valabile pentru coloane. Poți folosi linii sau coloane, dar notează ce operație faci și asupra cărei versiuni a matricei. Dacă modifici succesiv două linii, a doua operație se aplică matricei deja obținute.

Exemplul principal: parametru pe diagonală

Considerăm matricea A(m) cu liniile (m, 1, 1), (1, m, 1), (1, 1, m). Vrem să aflăm determinantul și valorile pentru care matricea este inversabilă.

Scădem prima linie din a doua și din a treia. Prima linie rămâne (m, 1, 1). A doua devine (1 − m, m − 1, 0), iar a treia (1 − m, 0, m − 1).

Aceste operații nu modifică determinantul. Din fiecare dintre ultimele două linii scoatem factorul m − 1. Obținem:

det A(m) = (m − 1)² · det B(m),

unde B(m) are liniile (m, 1, 1), (−1, 1, 0), (−1, 0, 1).

Factorizarea este o identitate valabilă pentru orice m. Nu am împărțit ecuația determinantului prin m − 1 și nu am eliminat cazul m = 1.

Cum calculăm determinantul rămas

În B(m), adunăm coloanele a doua și a treia la prima coloană. Noua primă coloană este (m + 2, 0, 0). Celelalte coloane rămân neschimbate.

Dezvoltând după prima coloană, minorul rămas este matricea unitate de ordinul doi, cu determinant unu. Prin urmare det B(m) = m + 2 și:

det A(m) = (m − 1)²(m + 2).

La m = 0, formula dă doi. Calculul direct al determinantului matricei cu zero pe diagonală și unu în rest dă tot doi. Această verificare numerică poate depista un semn greșit, dar demonstrația formulei este succesiunea de operații precedente.

La m = 1, toate liniile matricei inițiale sunt identice, deci determinantul este zero. La m = −2, suma celor trei linii este linia nulă, ceea ce confirmă și a doua valoare excepțională.

Inversabilitate și semnul determinantului

Matricea este inversabilă exact pentru m diferit de unu și de minus doi. Nu este suficient să ceri determinant pozitiv: un determinant negativ nenul permite tot existența inversei.

Pentru m diferit de unu, factorul (m − 1)² este strict pozitiv. Semnul determinantului este deci semnul lui m + 2. Rezultatul este negativ sub minus doi, zero la minus doi, pozitiv peste minus doi cu excepția lui unu, unde este din nou zero.

Dacă problema cere det A(m) ≥ 0, soluția este m ≥ −2. Dacă cere det A(m) > 0, soluția este m > −2 cu m diferit de unu. Pentru det A(m) < 0, soluția este m < −2.

Rădăcina dublă m = 1 nu schimbă semnul polinomului la traversarea ei. Totuși, punctul trebuie exclus dintr-o inegalitate strictă pozitivă. Nu confunda lipsa schimbării de semn cu lipsa unei rădăcini.

Exemplul doi: factorizare fără împărțire

Fie C(t) cu liniile (1, 1, 1), (1, t, 1), (1, 1, t). Scădem prima linie din ultimele două. Obținem liniile (1, 1, 1), (0, t − 1, 0), (0, 0, t − 1).

Matricea este triunghiulară superior, deci determinantul este (t − 1)². Dacă am împărți ultimele două linii prin t − 1 pentru a le simplifica, ar trebui să tratăm separat t = 1. Este mai curat să folosim direct produsul diagonalei sau să scoatem factorii fără împărțire.

Pentru det C(t) = 4, rezolvăm (t − 1)² = 4 și obținem t = 3 sau t = −1. Pentru det C(t) = −1 nu există soluții reale, deoarece pătratul unui număr real este nenegativ.

Exemplul trei: semnul schimbului de linii

Considerăm D cu liniile (0, 2, 1), (1, 0, 3), (0, 0, 4). Schimbăm primele două linii și obținem o matrice triunghiulară cu diagonala unu, doi, patru.

Determinantul matricei transformate este opt. Determinantul lui D este însă minus opt, deoarece am făcut un singur schimb de linii. Dacă uiți să urmărești această operație, poți obține un calcul intern corect și totuși un răspuns cu semnul greșit.

O alternativă este dezvoltarea după prima coloană. Singurul element nenul este pe poziția a doua, cu semn de cofactor negativ. Minorul are determinant opt, deci rezultatul este din nou minus opt.

Cum alegi operațiile la examen

Caută linii care diferă numai în una sau două poziții. Scăderea lor poate produce zerouri imediat. Caută apoi factori comuni unei linii întregi și o coloană cu multe zerouri pentru dezvoltare.

Nu scoate un factor comun numai dintr-un element al unei linii. Factorul trebuie să înmulțească toate elementele acelei linii. De asemenea, dacă îl scoți din două linii, în afara determinantului apare pătratul lui.

Regula lui Sarrus rămâne o metodă pentru ordinul trei, dar nu înlocuiește proprietățile determinantului. Uneori o dezvoltare completă ascunde factorizarea care ar fi fost vizibilă după o singură scădere de linii.

O altă verificare utilă privește gradul polinomului. În exemplul A(m), fiecare produs din dezvoltare conține cel mult trei factori în care apare parametrul. Rezultatul trebuie să aibă grad cel mult trei. Formula factorizată are grad trei, așa cum permite calculul. Dacă ai obține grad patru după scoaterea factorilor, ar trebui să revizuiești expresia determinantului rămas. Acest control nu demonstrează formula, dar semnalează o eroare structurală înainte să rezolvi ecuațiile sau inecuațiile bazate pe ea.

Exerciții cu rezultate

1. Pentru A(m), calculează determinantul la m = 2.
2. Pentru C(t), află valorile la care determinantul este unu.
3. Dacă schimbi două linii ale unei matrice cu determinant minus cinci, ce determinant obții?

Răspunsuri: patru; t = 0 sau t = 2; plus cinci. La al doilea exercițiu, păstrează ambele semne când extragi rădăcina pătrată.

Explică efectul fiecărei operații pentru a trece de la memorare la înțelegerea calculului. Dacă ai erori repetate de semn, poți reface aceeași problemă prin două metode cu un profesor de matematică.

Întrebări frecvente

Pot împărți printr-o expresie cu parametru?

Numai după ce tratezi separat valorile care o anulează. Altfel poți pierde exact soluțiile căutate.

Un determinant negativ împiedică inversabilitatea?

Nu. Numai determinantul zero împiedică existența inversei unei matrice pătratice.

Operațiile pe coloane au aceleași proprietăți?

Da. Poți aplica aceleași reguli, urmărind clar operația și factorii extrași.