Inversa unei matrice la BAC: parametri și întregi

Existența inversei și natura elementelor ei sunt două întrebări diferite. O matrice cu elemente întregi poate avea inversă cu fracții. Într-o problemă de BAC cu parametru, calculezi mai întâi determinantul, apoi inversa și abia după aceea impui condiția cerută asupra elementelor sale.

Această lecție lucrează cu familii de matrice de ordinul doi: inverse pentru orice parametru, elemente întregi și condiții asupra unor poziții. Alege exercițiile conform programei profilului tău. Pentru forma cerințelor, consultă și subiectele de BAC. Exemplele sunt originale și pot fi verificate prin înmulțire directă.

Schema de lucru

Cerință	Condiția pe care o verifici
Matricea să fie inversabilă	determinant diferit de zero
Un element al inversei să fie zero	formula acelui element egală cu zero, pe domeniul admis
Inversa să aibă elemente întregi	fiecare element să fie întreg
Inversa să fie triunghiulară superior	elementele de sub diagonală să fie zero
Inversa să fie simetrică	elementele simetrice față de diagonală să coincidă

Nu impune o condiție asupra matricei inițiale în locul celei cerute pentru inversă. De asemenea, nu anula un numitor prin simplificare fără să păstrezi excluderile determinate de determinant.

O familie cu determinant constant

Considerăm A(m) cu liniile (m, 1), (m² − 1, m), pentru m real. Determinantul este m² − (m² − 1) = 1.

Prin urmare, matricea este inversabilă pentru orice m real. Inversa are liniile (m, −1), (1 − m², m). Factorul unu supra determinant nu schimbă elementele.

Verificăm produsul pe poziții. În stânga sus obținem m² + 1 − m² = 1. În dreapta sus obținem −m + m = 0. În stânga jos avem (m² − 1)m + m(1 − m²) = 0. În dreapta jos rezultă −(m² − 1) + m² = 1.

Acest calcul verifică identitatea pentru orice parametru, nu numai pentru o valoare aleasă. Nu trebuie să excluzi m = 0 sau m = ±1, deoarece determinantul rămâne unu și la aceste valori.

Când inversa are elemente întregi

Pentru familia A(m), dacă m este întreg, atunci m, minus unu și 1 − m² sunt toate numere întregi. Așadar inversa are elemente întregi pentru orice parametru întreg.

Reciproc, dacă inversa are toate elementele întregi, elementul său de pe prima poziție diagonală este m, deci m trebuie să fie întreg. Am obținut echivalența: inversa are elemente întregi exact când m este întreg.

Este important să arăți ambele direcții. Faptul că ai găsit câteva valori întregi care funcționează nu demonstrează că nu există și valori neîntregi. Aici condiția necesară se citește chiar de pe diagonală.

Pentru m = 2, matricea A are liniile (2, 1), (3, 2), iar inversa are liniile (2, −1), (−3, 2). Pentru m = 1/2, elementele diagonale ale inversei sunt jumătăți, deci condiția de integritate nu este îndeplinită.

Un contrast: elemente întregi, inversă fracționară

Considerăm B(m) cu liniile (m, 1), (1, m), de data aceasta cu m întreg. Determinantul este m² − 1, deci m = 1 și m = −1 sunt excluse.

Inversa este matricea cu liniile (m, −1), (−1, m), înmulțită cu 1/(m² − 1). Pentru ca toate elementele sale să fie întregi, în special −1/(m² − 1) trebuie să fie întreg.

Deoarece numitorul este un întreg nenul, acesta trebuie să fie unu sau minus unu. Din m² − 1 = 1 ar rezulta m² = 2, imposibil pentru m întreg. Din m² − 1 = −1 rezultă m = 0.

Valoarea zero chiar funcționează: B(0) are liniile (0, 1), (1, 0) și este propria inversă. Prin urmare, dintre parametrii întregi admiși, numai m = 0 produce o inversă cu elemente întregi.

La m = 2, determinantul este trei, iar inversa conține treimi. Matricea inițială are numai elemente întregi, dar această proprietate nu se transferă automat inversei.

Condiții asupra formei inversei

Revenim la familia A(m). Inversa este triunghiulară superior dacă elementul din stânga jos este zero: 1 − m² = 0. Rezultă m = 1 sau m = −1.

Nu poate fi diagonală pentru niciun parametru, deoarece elementul din dreapta sus este mereu minus unu. Chiar dacă eliminăm elementul de sub diagonală, cel de deasupra rămâne nenul.

Inversa este simetrică dacă 1 − m² = −1. Rezultă m² = 2, deci m = √2 sau m = −√2. Aceste valori sunt reale admise, dar nu sunt întregi. Dacă problema ar cere simultan simetrie și elemente întregi, nu ar exista nicio soluție.

Observă cum aceeași matrice produce răspunsuri diferite în funcție de cerință. „Triunghiulară”, „diagonală” și „simetrică” nu sunt proprietăți interschimbabile.

Suma elementelor și un element nenegativ

Suma tuturor elementelor inversei lui A(m) este m − 1 + 1 − m² + m = 2m − m². Dacă se cere ca această sumă să fie zero, obținem m(2 − m) = 0, deci m = 0 sau m = 2.

Nu confunda suma tuturor elementelor cu urma matricei. Urma adună numai elementele diagonale și este aici 2m. Condiția de urmă zero ar da numai m = 0.

Dacă se cere ca elementul din stânga jos să fie nenegativ, rezolvăm 1 − m² ≥ 0. Rezultatul este intervalul închis [−1, 1]. Capetele sunt incluse deoarece cerința permite zero.

La o problemă care cere toate elementele nenegative, răspunsul ar fi mulțimea vidă: elementul constant minus unu face condiția imposibilă. Uneori o singură poziție decide răspunsul fără un sistem lung de inecuații.

Verificarea prin determinantul inversei

Pentru orice matrice inversabilă, determinantul inversei este reciprocul determinantului inițial. Relația rezultă aplicând determinantul identității AA⁻¹ = I și folosind multiplicativitatea. În prima familie, determinantul inversei trebuie să fie unu. Calculul direct dă m² − (−1)(1 − m²) = 1, ceea ce confirmă formula.

Acest control este util, dar nu suficient singur: mai multe matrice diferite au același determinant. Pentru a confirma că ai găsit tocmai inversa cerută, verifică produsul cu matricea inițială. Folosește determinantul ca test rapid de consistență, apoi verificarea pe poziții ca justificare completă a rezultatului.

Exerciții cu verificare

1. Calculează inversa lui A(−2).
2. Pentru ce m are inversa lui A(m) urma șase?
3. Poate inversa lui A(m) să fie matricea unitate?
4. Pentru B(m), câți parametri întregi între minus trei și trei dau inverse cu elemente întregi?

Răspunsuri: la primul, liniile sunt (−2, −1), (−3, −2). La al doilea, 2m = 6, deci m = 3. La al treilea, nu, deoarece poziția din dreapta sus nu poate deveni zero. La ultimul, un singur parametru, m = 0; valorile ±1 sunt oricum excluse de determinant.

Explică de ce condiția aleasă este necesară și suficientă. Acest obicei susține înțelegerea matematicii dincolo de memorare. Dacă trecerea de la cerința verbală la ecuația elementului rămâne dificilă, poți exersa cu un profesor de matematică.

Întrebări frecvente

O matrice cu determinant unu are inversă cu elemente întregi?

Da, dacă matricea inițială are elemente întregi. Determinantul unu singur nu impune integritatea elementelor inițiale.

Pot verifica numai elementele diagonale?

Numai dacă acestea oferă o condiție necesară și demonstrezi apoi că toate celelalte elemente satisfac cerința.

De ce păstrez restricția asupra parametrului?

Formula inversei este valabilă numai unde determinantul este nenul, chiar dacă o expresie particulară se poate simplifica.