Ecuații matriciale la BAC: ordinea factorilor

În ecuațiile matriciale, inversa se aplică pe partea pe care se află factorul de eliminat. Pentru AXB = C, dacă A și B sunt inversabile, rezultă X = A⁻¹CB⁻¹. Ordinea nu poate fi schimbată după regulile fracțiilor obișnuite, deoarece produsul matricelor nu este, în general, comutativ.

Lecția pregătește exerciții de BAC în care necunoscuta este o matrice și trebuie păstrată ordinea factorilor. Selectează nivelul conform programei profilului tău și compară cerințele cu varianta potrivită din subiectele de BAC. Exemplele sunt originale și pun accent pe justificarea transformărilor, nu pe o rețetă memorată fără condiții.

Schema de izolare a necunoscutei

Ecuație	Operație permisă, dacă inversa există	Rezultat
AX = C	înmulțești la stânga cu A⁻¹	X = A⁻¹C
XB = C	înmulțești la dreapta cu B⁻¹	X = CB⁻¹
AXB = C	elimini A la stânga și B la dreapta	X = A⁻¹CB⁻¹
AX + BX = C	factorizezi X la dreapta	(A + B)X = C
XA + XB = C	factorizezi X la stânga	X(A + B) = C

Pentru AX + XB nu există, în general, factorizarea (A + B)X sau X(A + B). Cei doi termeni au necunoscuta pe părți diferite. Poți trece la elementele necunoscute ale lui X și obține un sistem de ecuații reale.

Exemplul unu: factor la stânga și la dreapta

Folosim matricele A cu liniile (1, 1), (0, 1), B cu liniile (1, 0), (1, 1) și C cu liniile (3, 1), (2, 1). Căutăm X din AXB = C.

Determinanții lui A și B sunt unu, deci ambele au inverse. A⁻¹ are liniile (1, −1), (0, 1), iar B⁻¹ are liniile (1, 0), (−1, 1).

Înmulțim mai întâi A⁻¹C. Prima linie este diferența liniilor lui C, adică (1, 0), iar a doua rămâne (2, 1). Apoi înmulțim rezultatul la dreapta cu B⁻¹ și obținem X cu liniile (1, 0), (1, 1).

Verificăm direct, fără să repetăm formulele inversei. Produsul AX are liniile (2, 1), (1, 1). Înmulțirea lui cu B dă liniile (3, 1), (2, 1), exact C.

Dacă ai scrie X = B⁻¹CA⁻¹, ai elimina factorii pe părțile greșite. Asociativitatea îți permite să muți parantezele, dar nu să inversezi ordinea matricelor.

De ce transformarea este echivalentă

Pornind de la AXB = C, înmulțirea la stânga cu A⁻¹ dă XB = A⁻¹C. Înmulțirea la dreapta cu B⁻¹ dă X = A⁻¹CB⁻¹.

Reciproc, dacă X are această formă, atunci AXB = A(A⁻¹CB⁻¹)B. Prin asociativitate putem grupa AA⁻¹ și B⁻¹B, care sunt matrice unitate. Rămâne C.

Am demonstrat atât că orice soluție trebuie să aibă forma găsită, cât și că matricea obținută este soluție. În condițiile de inversabilitate, soluția este unică. Nu am folosit comutativitatea în niciun pas.

Exemplul doi: factorizare corectă

Fie A cu liniile (1, 2), (0, 1), B cu liniile (2, −2), (0, 2), iar C cu liniile (3, 6), (9, 12). Ecuația este AX + BX = C.

Suma A + B este 3I. Factorizăm și obținem 3IX = C, deci X = C/3, cu liniile (1, 2), (3, 4).

Împărțirea la trei este permisă deoarece trei este un scalar nenul. Nu am împărțit printr-o matrice. Dacă aceeași ecuație ar avea necunoscuta în dreapta numai într-un termen, această simplificare nu ar fi justificată.

În cazul general, trebuie verificată inversabilitatea sumei A + B. Faptul că A și B sunt fiecare inversabile nu garantează acest lucru. De exemplu, I și −I au inverse, dar suma lor este matricea nulă.

Exemplul trei: necunoscuta pe părți diferite

Fie A matricea diagonală cu elementele unu și doi, iar B matricea diagonală cu elementele trei și patru. Rezolvăm AX + XB = C, unde C are liniile (4, 10), (15, 24).

Scriem X cu liniile (x, y), (z, t). Înmulțirea la stânga cu A înmulțește prima linie cu unu și a doua cu doi. Înmulțirea la dreapta cu B înmulțește prima coloană cu trei și a doua cu patru.

Prin adunare, AX + XB are liniile (4x, 5y), (5z, 6t). Egalăm pozițiile corespunzătoare cu C și obținem x = 1, y = 2, z = 3, t = 4.

Soluția este matricea cu liniile (1, 2), (3, 4). Această metodă funcționează fără o presupusă factorizare comună. În alte exemple, sistemul elementelor poate fi mai lung, dar rămâne o metodă sigură pentru ordinul doi.

Exemplul patru: factor fără inversă

Considerăm A cu liniile (1, 1), (2, 2) și ecuația AX = C. Dacă X are liniile (x, y), (z, t), produsul AX are liniile (x + z, y + t), (2x + 2z, 2y + 2t).

A doua linie a rezultatului este obligatoriu dublul primei. Pentru C cu liniile (3, 4), (6, 8), ecuația este compatibilă și are infinit de multe soluții: putem alege liber z și t, apoi x = 3 − z, y = 4 − t.

Pentru C cu liniile (3, 4), (6, 9), ecuația nu are soluții. Ultimul element ar trebui să fie opt, nu nouă. Determinantul nul al lui A nu înseamnă automat incompatibilitate; înseamnă că metoda cu inversa nu se aplică.

Greșeli care schimbă răspunsul

Nu simplifica AX = AY la X = Y dacă A nu este inversabilă sau dacă nu ai o altă justificare. În exemplul singular, mai multe matrice X produc același rezultat, deci eliminarea lui A ar pierde soluții.

Verifică dimensiunile înainte de orice înmulțire. Un produs poate fi definit într-o ordine și nedefinit în cealaltă. În exemplele acestei lecții toate matricele sunt de ordinul doi, dar aceasta este o ipoteză explicită, nu o regulă universală.

Păstrează distincția dintre matricea nulă și numărul zero, respectiv dintre matricea unitate și numărul unu. Într-o expresie matricială, constantele dintr-un polinom se înmulțesc cu matricea unitate potrivită.

Un control rapid al dimensiunilor: dacă A are două linii și trei coloane, iar X are trei linii și două coloane, produsul AX este de ordinul doi. Produsul XA este de ordinul trei. Chiar dacă ambele există, ele nu pot fi egale, deoarece au dimensiuni diferite. Această observație arată de ce ordinea trebuie verificată înainte de calculul elementelor.

Exerciții cu răspunsuri

1. Pentru AXB = C, justifică de ce nu poți muta arbitrar A⁻¹ după C.
2. Rezolvă 2IX = C, dacă C are liniile (2, 4), (6, 8).
3. În exemplul singular, alege z = 1, t = 2 și scrie o soluție.

Răspunsuri: matricele nu comută în general; la al doilea X are liniile (1, 2), (3, 4); la al treilea X are liniile (2, 2), (1, 2). Verifică ultimul rezultat prin înmulțire directă.

Exersează explicând fiecare transformare, ca în abordarea despre memorare și înțelegere. Dacă erorile apar la ordinea produselor, un profesor de matematică poate urmări cu tine pașii intermediari, nu doar rezultatul final.

Întrebări frecvente

Pot împărți o matrice la altă matrice?

Nu există o împărțire matricială obișnuită. Folosești înmulțirea cu inversa, cu ordinea precizată.

Determinantul nul înseamnă lipsa soluțiilor?

Nu. Ecuația poate fi incompatibilă sau poate avea mai multe soluții, în funcție de membrul drept.

Cum verific cel mai sigur soluția?

Înlocuiești matricea obținută în ecuația inițială și calculezi produsele în ordinea scrisă acolo.