Sisteme cu parametru la BAC: discuția pe cazuri

Un sistem cu parametru se discută înainte să împarți printr-o expresie care poate fi zero. Pentru valorile obișnuite poți avea soluție unică; la valorile excepționale revii la ecuațiile inițiale și stabilești dacă sunt incompatibile sau dacă descriu aceeași condiție. Determinantul zero nu oferă singur răspunsul complet.

Această lecție de BAC urmărește sisteme liniare cu două necunoscute și parametri. Exercițiile sunt originale, pentru exersarea discuției pe cazuri. Folosește-le potrivit programei profilului tău și verifică tipurile de cerințe în arhiva subiectelor de BAC.

Schema de clasificare

Situație după reducere	Tipul sistemului	Ce scrii în răspuns
Ambele necunoscute sunt determinate	compatibil determinat	perechea unică
Apare o egalitate numerică falsă	incompatibil	nu există soluții
Rămâne o ecuație independentă	compatibil nedeterminat	familia de soluții cu parametru liber

Parametrul din enunț și parametrul liber al soluțiilor au roluri diferite. Dacă în enunț apare m, poți nota cu t valoarea liberă a unei necunoscute. Nu folosi aceeași literă pentru ambele, deoarece ar face răspunsul ambiguu.

Exemplul unu: o singură valoare excepțională

Considerăm sistemul x + y = 2 și x + my = m + 1. Scădem prima ecuație din a doua și obținem (m − 1)y = m − 1.

Dacă m este diferit de unu, împărțim prin m − 1 și găsim y = 1. Din prima ecuație rezultă x = 1. Perechea (1, 1) este soluție unică pentru orice asemenea m.

Dacă m = 1, cele două ecuații inițiale sunt ambele x + y = 2. A doua nu aduce informație nouă. Alegem y = t, cu t real, și obținem x = 2 − t. Soluțiile sunt toate perechile (2 − t, t).

Perechea (1, 1) aparține și acestei familii, dar nu este singura soluție la m = 1. De aceea o formulă care funcționează prin substituție nu dovedește automat unicitatea.

Exemplul doi: aceeași matrice, alt membru drept

Schimbăm numai a doua ecuație: x + y = 2 și x + my = 3. Reducerea dă (m − 1)y = 1.

Pentru m diferit de unu, y = 1/(m − 1), iar x = 2 − 1/(m − 1). Pentru m = 1, sistemul ar impune simultan x + y = 2 și x + y = 3, ceea ce este imposibil.

Cele două exemple au aceeași matrice a coeficienților și același determinant m − 1. Totuși, la valoarea excepțională, primul are infinit de multe soluții și al doilea nu are soluții. Diferența vine din termenii liberi.

La m = 2, al doilea sistem are soluția (1, 1). La m = 3, are soluția (3/2, 1/2). Verifică ambele perechi în ecuația care conține parametrul, nu numai în prima.

Exemplul trei: două valori excepționale

Fie sistemul mx + y = 1 și x + my = 1. Determinantul este m² − 1, deci trebuie analizate separat m = 1 și m = −1.

Pentru m diferit de aceste valori, scăderea ecuațiilor dă (m − 1)(x − y) = 0. Rezultă x = y. În prima ecuație avem (m + 1)x = 1, deci x = y = 1/(m + 1).

La m = 1, ambele ecuații sunt x + y = 1, iar soluțiile sunt (1 − t, t). La m = −1, ecuațiile devin −x + y = 1 și x − y = 1. Adunarea lor produce zero egal cu doi, deci sistemul este incompatibil.

Observă că formula soluției ordinare este definită la m = 1. Dacă ai continua-o fără discuție, ai obține perechea (1/2, 1/2), care este corectă, dar incompletă. La acea valoare există o întreagă familie de soluții.

Interpretare geometrică

Fiecare ecuație liniară cu cel puțin un coeficient nenul reprezintă o dreaptă. Soluția sistemului este intersecția celor două drepte.

Pentru determinant nenul, dreptele se intersectează într-un singur punct. Pentru determinant zero, pot fi paralele distincte sau pot coincide. În primul caz nu există soluții, în al doilea există infinit de multe.

Dacă o ecuație degenerată are ambii coeficienți zero, nu o mai numi automat dreaptă. Relația zero egal cu zero este adevărată pentru orice pereche, iar zero egal cu un număr nenul este imposibilă. Metoda algebrică rămâne valabilă și în aceste situații.

Exemplul patru: doi parametri

Considerăm sistemul x + y = 2 și x + my = b. Parametrii m și b sunt reali. Prin scădere obținem (m − 1)y = b − 2.

Pentru m diferit de unu, avem y = (b − 2)/(m − 1) și x = 2 − (b − 2)/(m − 1), indiferent de valoarea lui b. Sistemul este compatibil determinat.

Pentru m = 1 și b = 2, ecuațiile coincid, deci avem infinit de multe soluții. Pentru m = 1 și b diferit de doi, sistemul este incompatibil.

Redactarea trebuie să includă ambele condiții în cazurile excepționale. Nu scrie numai „m egal cu unu”, fiindcă natura sistemului mai depinde de b. Această structură apare frecvent atunci când termenul liber conține un parametru diferit de cel din coeficienți.

Cum folosești regula lui Cramer

Regula lui Cramer se aplică direct când determinantul sistemului este nenul. Calculezi determinanții în care înlocuiești coloana necunoscutei cu termenii liberi și formezi rapoartele corespunzătoare.

Dacă determinantul principal este zero, nu scrii rapoarte cu numitor zero. Revii la reducere sau la relațiile dintre ecuații. Nici faptul că doi determinanți suplimentari sunt zero nu înlocuiește automat întreaga analiză în orice sistem degenerat.

Pentru sistemele mici, reducerea poate fi mai scurtă decât trei determinanți. Alege metoda care arată clar valorile excepționale și compatibilitatea, nu metoda care produce cele mai multe calcule.

Dacă ambele ecuații se reduc la identități, toate perechile reale sunt soluții și ai doi parametri liberi. De exemplu, sistemul mx = 0, my = 0 are soluția unică (0, 0) pentru m nenul, dar orice pereche pentru m = 0. Această situație diferă de cazul în care rămâne o singură ecuație independentă. Numărul necunoscutelor libere trebuie să reflecte informația care a rămas după reducere.

Exerciții cu răspunsuri

1. Discută x + y = 4 și x + my = 4.
2. Discută x + y = 4 și x + my = 5.
3. În primul exemplu, găsește soluțiile care au x egal cu zero.

Răspunsuri: la primul, pentru m diferit de unu soluția este (4, 0); la m = 1 avem (4 − t, t). La al doilea, m = 1 dă incompatibilitate, iar altfel y = 1/(m − 1), x = 4 − y. La ultimul, condiția x = 0 este posibilă numai în cazul m = 1, cu y = 2.

Pentru verificare, substituie câte o valoare obișnuită și fiecare valoare excepțională. Explicarea cazurilor este o formă de învățare prin înțelegere. Un profesor din pagina de meditații la matematică îți poate verifica discuția completă, inclusiv situațiile în care formulele aparent rămân definite.

Întrebări frecvente

Determinantul zero înseamnă sistem incompatibil?

Nu. Trebuie analizate și termenii liberi; sistemul poate avea infinit de multe soluții.

Pot simplifica un factor care conține parametrul?

Da, în cazul în care factorul este nenul. Valorile care îl anulează se discută separat.

Cum arăt că sunt infinit de multe soluții?

Scrii explicit o familie de perechi dependente de un parametru liber și verifici că toate satisfac sistemul.