Rangul unei matrice la BAC: parametri și minori

Rangul unei matrice este ordinul maxim al unui minor nenul. Dacă determinantul unei matrice de ordinul trei este zero, știi numai că rangul este mai mic decât trei. Pentru a decide între doi, unu și zero, verifici minorii de ordin inferior sau reduci matricea prin operații care păstrează rangul.

Această lecție vizează în special M_mate-info: rangul și studiul compatibilității sunt enumerate în secțiunea de algebră liniară din programa oficială de referință, pagina opt. Reperul este documentul din anul 2015, nu confirmarea unei programe pentru o sesiune viitoare. Verifică aplicabilitatea în programa profilului tău și compară cerințele cu subiectele de BAC. Exemplele sunt originale și urmăresc justificarea fiecărui caz, nu numai calculul determinantului.

Schema de decizie pentru ordinul trei

Ce ai demonstrat	Concluzie
determinantul de ordin trei este nenul	rangul este trei
determinantul este zero, dar un minor de ordin doi este nenul	rangul este doi
toți minorii de ordin doi sunt zero, dar există un element nenul	rangul este unu
toate elementele sunt zero	rangul este zero

Pentru a demonstra rangul doi, nu este suficient să găsești un minor nenul de ordin doi. Acesta arată doar că rangul este cel puțin doi. Mai trebuie să justifici că nu poate fi trei, de exemplu prin determinant nul.

La fel, un minor de ordin doi egal cu zero nu spune că toți ceilalți sunt zero. Poți avea un minor nul într-o matrice inversabilă. Rangul depinde de existența minorilor nenuli, nu de primul minor ales.

Exemplul unu: trei comportamente ale parametrului

Fie A(m) cu liniile (m, 1, 1), (1, m, 1), (1, 1, m). Determinantul său este (m − 1)²(m + 2). Formula se poate obține scăzând prima linie din celelalte două și scoțând factorii comuni.

Pentru m diferit de unu și de minus doi, determinantul este nenul, deci rangul este trei. Nu trebuie să calculezi alți minori în acest caz.

Pentru m = 1, toate liniile sunt (1, 1, 1). Orice minor de ordin doi are două linii egale și este zero. Există însă elemente nenule, așadar rangul este unu.

Pentru m = −2, determinantul este zero. Alegem minorul format din primele două linii și primele două coloane: are liniile (−2, 1), (1, −2), iar determinantul său este trei. Acesta este nenul, deci rangul este doi.

Concluzia completă are trei cazuri: rang unu la m = 1, rang doi la m = −2 și rang trei în rest. Nu putem grupa ambele rădăcini ale determinantului într-un singur răspuns „rang doi”.

Exemplul doi: minorul nepotrivit

Considerăm B cu liniile (1, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0). Minorul din colțul stâng sus are liniile (1, 0), (0, 0), deci este zero.

Totuși, determinantul lui B este minus unu, astfel că rangul este trei. Un singur minor nul nu limitează rangul superior. Dacă ai concluziona rang unu sau doi din primul minor calculat, ai confunda lipsa unei dovezi cu dovada unei limitări.

Poți vedea și direct independența liniilor: fiecare are singurul element nenul într-o coloană diferită. Nicio linie nu se obține ca multiplu al altei linii. Determinantul confirmă concluzia pentru întreaga matrice.

Exemplul trei: matrice dreptunghiulară

Fie C(t) cu două linii și trei coloane: (1, t, 2), respectiv (2, 2t, t + 3). Rangul nu poate depăși doi, deoarece matricea are numai două linii.

Scădem de două ori prima linie din a doua. Obținem (1, t, 2) și (0, 0, t − 1). Dacă t este diferit de unu, a doua linie este nenulă și independentă de prima, deci rangul este doi.

Putem verifica și prin minorul format din coloanele unu și trei: determinantul este t + 3 − 4 = t − 1. La t diferit de unu, acest minor este nenul și atinge limita maximă posibilă a rangului.

La t = 1, a doua linie inițială este dublul primei. Matricea nu este nulă, deci rangul este unu. Nu există determinant al întregii matrice dreptunghiulare; folosim minorii ei pătratici.

Operații care păstrează rangul

Schimbarea a două linii între ele păstrează rangul. Înmulțirea unei linii cu un scalar nenul îl păstrează, iar adunarea unui multiplu al altei linii îl păstrează de asemenea.

Condiția „nenul” este esențială. Dacă înmulțești o linie cu zero, poți pierde informație și poți micșora rangul. Când scalarul depinde de parametru, verifici separat valorile la care el se anulează.

Adunarea unui multiplu al altei linii este reversibilă: poți scădea apoi același multiplu pentru a reveni la matricea inițială. Această reversibilitate explică de ce nu se schimbă numărul de condiții independente reprezentate de linii.

Într-o formă în trepte obținută prin operații admise, rangul este numărul liniilor nenule. Nu număra însă pur și simplu liniile nenule ale matricei inițiale: mai multe dintre ele pot fi dependente, ca la m = 1 în primul exemplu.

Legătura cu un sistem liniar

Rangul matricei coeficienților arată câte condiții liniare independente avem. Pentru compatibilitate trebuie comparat cu rangul matricei extinse, în care adăugăm coloana termenilor liberi.

De exemplu, x + y = 2 și 2x + 2y = 4 au matricea coeficienților de rang unu și matricea extinsă tot de rang unu. Există infinit de multe soluții.

Dacă în a doua ecuație schimbăm termenul liber în cinci, matricea coeficienților rămâne aceeași. În matricea extinsă apare însă un minor nenul de ordin doi, folosind coloana lui x și coloana termenilor liberi: determinantul este cinci minus patru, adică unu. Rangul extinsei devine doi, iar sistemul este incompatibil.

Nu trebuie să memorezi numai denumirea unei teoreme. Verifică ce informație nouă aduce coloana termenilor liberi și dacă aceasta este compatibilă cu relațiile dintre coeficienți.

Exerciții cu răspunsuri

1. Care este rangul matricei unitate de ordinul trei?
2. Care este rangul unei matrice de ordinul trei cu toate elementele egale cu doi?
3. Pentru C(t), află rangul la t = 0 și la t = 1.
4. O matrice de trei linii și două coloane poate avea rang trei?

Răspunsuri: trei, deoarece determinantul este unu; unu, deoarece liniile coincid și matricea nu este nulă; respectiv doi și unu; nu, rangul este limitat și de numărul coloanelor.

Explică atât limita inferioară, cât și limita superioară a rangului. Această abordare urmează diferența dintre a memora și a înțelege. Dacă alegerea minorului este neclară, poți exersa cu un profesor din pagina de meditații la matematică.

Întrebări frecvente

Determinant nul înseamnă rang zero?

Nu. Rang zero are numai matricea nulă. O matrice de ordinul trei cu determinant nul poate avea rang unu sau doi.

Câți minori trebuie să calculez?

Atâția câți sunt necesari pentru a demonstra limita maximă și existența unui minor nenul de ordinul respectiv. Nu este obligatoriu să îi calculezi pe toți dacă folosești proprietăți ale liniilor.

Rangul se definește numai pentru matrice pătratice?

Nu. Este definit și pentru matrice dreptunghiulare, prin minorii pătratici sau prin numărul liniilor independente.