Matrice care comută la BAC: rezolvarea AX = XA

Condiția AX = XA se rezolvă comparând produsele în ambele ordini. Scrii elementele necunoscute ale lui X, calculezi AX și XA, apoi egalezi pozițiile corespunzătoare. Nu poți elimina A din cele două părți: factorul se află în poziții diferite.

Lecția este un atelier de BAC despre matrice care comută cu o matrice dată. Se adresează profilurilor în a căror programă intră operațiile și ecuațiile matriciale. Compară cerințele cu subiectele de BAC pentru profilul tău. Exemplele sunt originale și nu presupun teoria valorilor proprii.

Ce înseamnă să comute două matrice

Două matrice pătratice de același ordin comută dacă produsele lor în cele două ordini sunt egale. În general, această egalitate nu este valabilă. Faptul că toate produsele sunt definite nu înseamnă că sunt și identice.

Matricea unitate comută cu orice matrice de același ordin. La fel, orice multiplu scalar al matricei unitate comută cu toate matricele de ordinul respectiv. O matrice comută și cu propriile puteri, prin asociativitatea înmulțirii.

Aceste exemple oferă soluții imediate, dar nu descriu întotdeauna toate matricele X cerute de problemă. Pentru clasificare completă, trebuie să rezolvi ecuațiile elementelor.

Schema de lucru pentru ordinul doi

Scriem X cu liniile (x, y), (z, t). Cele patru litere reprezintă numere reale independente până când ecuația impune relații între ele.

Etapă	Acțiune
Primul produs	calculezi AX prin linie ori coloană
Al doilea produs	calculezi XA separat
Compararea	egalezi cele patru poziții
Reducerea	identifici relațiile independente
Descrierea	scrii toate matricele, cu parametri liberi

Unele ecuații pot fi identități, iar altele pot repeta aceeași condiție. Nu inventa restricții suplimentare pentru a determina patru valori unice. O familie de matrice este un răspuns normal pentru acest tip de problemă.

Exemplul unu: matrice diagonală cu elemente distincte

Fie A cu liniile (1, 0), (0, 2). Produsul AX are liniile (x, y), (2z, 2t), deoarece înmulțirea la stânga cu A modifică liniile lui X.

Produsul XA are liniile (x, 2y), (z, 2t), deoarece înmulțirea la dreapta modifică coloanele. Egalitatea produselor impune y = 2y și 2z = z, deci y = z = 0.

Elementele x și t rămân arbitrare. Toate soluțiile sunt matricele diagonale cu liniile (x, 0), (0, t). Nu este necesar ca cele două elemente diagonale să fie egale.

De exemplu, matricea cu diagonala trei și minus unu comută cu A. În schimb, matricea cu liniile (0, 1), (0, 0) nu comută: în AX elementul din dreapta sus este unu, iar în XA este doi.

Exemplul doi: când parametrul schimbă familia soluțiilor

Considerăm A(m) cu liniile (1, 0), (0, m). Repetând calculul obținem condițiile (m − 1)y = 0 și (m − 1)z = 0.

Pentru m diferit de unu, y și z trebuie să fie zero, deci X este diagonală. Pentru m = 1, matricea A este unitatea și ambele condiții devin identități. Orice matrice X de ordinul doi este soluție.

Dacă ai împărți de la început prin m − 1, ai pierde tocmai cazul în care familia soluțiilor se mărește. Valorile excepționale nu sunt detalii de final; ele pot schimba numărul parametrilor liberi.

În primul caz sunt libere numai x și t. În al doilea sunt libere toate cele patru elemente. Nu confunda parametrul m din matricea dată cu parametrii care descriu matricele soluție.

Exemplul trei: matrice triunghiulară

Fie A cu liniile (2, 1), (0, 2). Calculăm AX și obținem liniile (2x + z, 2y + t), (2z, 2t). Produsul XA are liniile (2x, x + 2y), (2z, z + 2t).

Compararea primei poziții dă z = 0. Compararea poziției din dreapta sus dă t = x. Ultima poziție repetă condiția z = 0, iar poziția din stânga jos este deja identică.

Prin urmare, toate soluțiile au liniile (x, y), (0, x), cu x și y reale arbitrare. Matricele nu sunt obligatoriu diagonale: y poate fi nenul.

Verificăm soluția cu x = 3 și y = −2. X are liniile (3, −2), (0, 3). Ambele produse au liniile (6, −1), (0, 6). Verificarea confirmă că termenul de deasupra diagonalei poate rămâne liber.

Care dintre soluții sunt inversabile

În exemplul triunghiular, determinantul lui X este x². Așadar X este inversabilă exact când x este diferit de zero. Parametrul y nu influențează determinantul.

Pentru x nenul, inversa are liniile (1/x, −y/x²), (0, 1/x). Ea are aceeași structură, deci comută la rândul ei cu A. Putem justifica și algebric: din AX = XA, înmulțim cu X⁻¹ pe părțile potrivite și obținem X⁻¹A = AX⁻¹.

Când x = 0, matricea X poate fi nenulă dacă y este nenul, dar nu are inversă. Ea continuă totuși să comute cu A. Comutativitatea unei perechi nu presupune inversabilitatea fiecărui factor.

Ce nu poți deduce din comutativitate

Din AX = XA nu rezultă X = A. Matricea unitate oferă deja un contraexemplu pentru orice A diferită de unitate. Nici X diagonală nu este o concluzie universală, după cum arată exemplul triunghiular.

Faptul că două matrice comută nu înseamnă că fiecare comută cu orice altă matrice. Proprietatea se referă la perechea concretă. Când un exercițiu afirmă că o matrice comută cu toate matricele de același ordin, condiția este mult mai puternică.

Nu aplica regula produsului nul de la numere reale: un produs de matrice poate fi nul chiar dacă ambii factori sunt nenuli. De aceea orice eliminare de factor trebuie justificată prin inversabilitate, nu prin simpla lui nenulitate.

Exerciții cu răspunsuri

1. Pentru A diagonală cu elementele trei și cinci, descrie toate matricele X care comută cu A.
2. Pentru A = 4I, câte restricții impune AX = XA asupra lui X?
3. În exemplul triunghiular, alege o soluție nenulă care nu este inversabilă.
4. Tot acolo, găsește soluțiile diagonale.

Răspunsuri: toate matricele diagonale; nicio restricție, orice matrice este admisă; poți lua liniile (0, 1), (0, 0); soluțiile diagonale sunt xI, deoarece y trebuie să fie zero.

Pentru învățare, compară cele trei familii și explică de ce se schimbă restricțiile. Este mai util decât memorarea unei forme, conform abordării despre memorare și înțelegere. Dacă produsele în cele două ordini se confundă, poți verifica pe poziții cu un profesor de matematică.

La final, substituie forma generală găsită, cu parametri încă liberi. Această verificare arată că întreaga familie funcționează, nu numai exemplul numeric ales.

Întrebări frecvente

Pot simplifica A din AX = XA?

Nu printr-o anulare obișnuită. Factorul este pe părți diferite, iar ecuația descrie o condiție de comutativitate.

Toate matricele diagonale comută între ele?

Da, dacă au același ordin, deoarece produsele în ambele ordini înmulțesc aceleași perechi de elemente diagonale.

O matrice care comută cu A trebuie să fie inversabilă?

Nu. Exemplul cu diagonală zero și un element nenul deasupra ei este singular și totuși comută cu matricea triunghiulară dată.