Asociativitate la BAC: lege de compoziție cu parametru

Asociativitatea unei legi cu parametru se verifică pentru trei elemente arbitrare. Calculezi cele două grupări, reduci diferența dintre ele și impui ca aceasta să fie zero pentru orice alegere a elementelor. Un exemplu numeric poate respinge asociativitatea, dar nu o poate demonstra în general.

Acest atelier de BAC urmărește aflarea parametrilor pentru care o lege este asociativă. Este potrivit profilurilor care includ legile de compoziție în programa aplicabilă. Pentru a compara cerințele, consultă subiectele de BAC ale profilului tău. Exemplele sunt originale și separă demonstrația universală de verificarea unui caz particular.

Ce trebuie comparat

Pentru o operație notată cu simbolul ∗, asociativitatea înseamnă (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z), pentru orice x, y și z din mulțimea pe care este definită legea.

În prima expresie efectuezi întâi x ∗ y și folosești rezultatul ca prim argument al operației următoare. În a doua efectuezi întâi y ∗ z și folosești rezultatul ca al doilea argument. Nu înlocui rezultatul intermediar numai într-un termen al formulei.

Pas	Verificarea necesară
Legea pe mulțime	rezultatul rămâne în mulțimea dată
Prima grupare	înlocuiești complet primul argument
A doua grupare	înlocuiești complet al doilea argument
Diferența	reduci termenii identici
Parametrul	ceri identitate pentru toate elementele

Pe mulțimea numerelor reale, o formulă polinomială în x și y oferă automat un rezultat real. Pe un interval sau pe o mulțime finită, stabilitatea trebuie verificată separat.

Exemplul principal: doi parametri admiși

Pe numerele reale definim x ∗ y = xy + m(x + y) + 2, unde m este real. Legea este comutativă pentru orice m, deoarece formula este simetrică în x și y. Această observație nu dovedește asociativitatea.

Notăm temporar u = x ∗ y. Prima grupare este uz + m(u + z) + 2. Înlocuind u complet și dezvoltând, obținem:

xyz + mxz + myz + 2z + mxy + m²x + m²y + 2m + mz + 2.

Pentru a doua grupare, notăm v = y ∗ z. Expresia este xv + m(x + v) + 2. După înlocuire rezultă:

xyz + mxy + mxz + 2x + mx + myz + m²y + m²z + 2m + 2.

Scăzând a doua expresie din prima, termenii comuni se reduc. Rămâne:

(m² − m − 2)(x − z).

De ce trebuie anulat coeficientul

Asociativitatea cere ca diferența să fie zero pentru orice x și z reale. Putem alege x diferit de z, de exemplu x = 1 și z = 0. Rezultă condiția necesară m² − m − 2 = 0.

Factorizăm (m − 2)(m + 1) = 0 și obținem m = 2 sau m = −1. Aceste valori sunt și suficiente: pentru fiecare dintre ele, coeficientul diferenței este zero, deci egalitatea grupărilor se verifică pentru orice triplet real.

Această ultimă propoziție încheie demonstrația. Dacă ai folosit numai alegerea x = 1, z = 0, ai obținut o condiție necesară, dar trebuie să revii la formula generală pentru suficiență.

Nu alege x = z ca unic test. Pentru asemenea triplete, diferența este zero indiferent de m, deci testul nu distinge valorile asociative de cele neasociative.

Verificare prin rescriere pentru valorile găsite

La m = 2, legea devine xy + 2x + 2y + 2, adică (x + 2)(y + 2) − 2. Din această formă rezultă că (x ∗ y) + 2 = (x + 2)(y + 2).

Aplicând aceeași relație încă o dată, ambele grupări, după adăugarea lui doi, devin produsul (x + 2)(y + 2)(z + 2). Asociativitatea înmulțirii numerelor reale confirmă rezultatul.

La m = −1, legea este xy − x − y + 2, adică (x − 1)(y − 1) + 1. Ambele grupări, după scăderea lui unu, devin (x − 1)(y − 1)(z − 1).

Aceste rescrieri oferă o verificare independentă și scurtează calculele ulterioare. Ele nu trebuie aplicate cu un termen liber nepotrivit: coeficienții și constanta trebuie să corespundă exact formulei dezvoltate.

Un contraexemplu pentru o valoare respinsă

La m = 0, legea este x ∗ y = xy + 2. Alegem x = 1, y = 0 și z = 0.

Prima grupare este (1 ∗ 0) ∗ 0 = 2 ∗ 0 = 2. A doua este 1 ∗ (0 ∗ 0) = 1 ∗ 2 = 4. Rezultatele diferă, deci legea nu este asociativă.

Un singur contraexemplu este suficient pentru a respinge o afirmație care pretinde egalitate pentru toate tripletele. În schimb, oricâte exemple favorabile ai calcula, fără un argument general nu ai demonstrat proprietatea pe întreaga mulțime a numerelor reale.

Formula generală și limitele ei

Pentru legea x ∗ y = axy + b(x + y) + c pe numerele reale, diferența grupărilor este (b² − b − ac)(x − z). Prin urmare, asociativitatea este echivalentă cu ac = b² − b.

Dacă a este zero, condiția devine b² − b = 0, deci b = 0 sau b = 1. Pentru b = 0 obținem legea constantă x ∗ y = c, asociativă deoarece ambele grupări sunt c. Pentru b = 1 obținem x ∗ y = x + y + c, iar ambele grupări sunt x + y + z + 2c.

Nu împărți prin a înainte să tratezi cazul zero. Formula generală îl include deja și explică de ce două tipuri foarte diferite de operații pot fi asociative.

Asociativitatea nu garantează element neutru

Legea constantă x ∗ y = c, pe întreaga mulțime a numerelor reale, nu are element neutru. Pentru orice candidat e, rezultatul x ∗ e este c, care nu poate fi egal cu toate numerele x.

În schimb, legea x ∗ y = x + y + c are element neutru −c. Ambele legi sunt asociative, dar numai a doua îndeplinește această proprietate suplimentară pe numerele reale.

De aceea o cerință de grup trebuie verificată prin toate condițiile sale. Nu trece de la asociativitate la concluzia de grup fără element neutru, simetrice și stabilitate.

În redactare, folosește o singură literă temporară pentru fiecare rezultat intermediar și înlocuiește-o înainte să compari expresiile finale. Dacă două dezvoltări par diferite, ordonează termenii după tipul lor: produsul celor trei variabile, produsele a câte două, termenii liniari și constanta. Astfel vezi ce se reduce și eviți să pierzi un termen doar pentru că apare în altă ordine.

Exerciții cu răspunsuri

1. Pentru x ∗ y = xy + b(x + y) + 6, află valorile asociative ale lui b.
2. Este asociativă legea x ∗ y = 2xy + x + y?
3. Este asociativă legea x ∗ y = 2xy + x + y + 1?

Răspunsuri: primul caz cere b² − b = 6, deci b = 3 sau b = −2. Al doilea este asociativ, deoarece ac = 0 și b² − b = 0. Al treilea nu este: ac = 2, pe când b² − b = 0. Poți construi și un contraexemplu alegând x diferit de z.

Explică de ce condiția este necesară și suficientă pentru a exersa înțelegerea demonstrației. Dacă dezvoltările devin greu de urmărit, poți compara cele două grupări pe coloane cu un profesor de matematică.

Întrebări frecvente

Comutativitatea implică asociativitatea?

Nu. Legea xy + 2 este comutativă, dar contraexemplul de mai sus arată că nu este asociativă.

Ajunge să verific trei numere?

Ajunge pentru a găsi un contraexemplu, nu pentru a demonstra o identitate pe toate numerele reale.

Pot folosi formula generală pe orice submulțime?

Trebuie verificată mai întâi stabilitatea și trebuie ținut cont de mulțimea concretă. Clasificarea prezentată a fost demonstrată pe întreaga mulțime a numerelor reale.