Lege de compoziție pe interval la BAC: soluții admise

O soluție algebrică trebuie să aparțină și mulțimii pe care este definită legea. În problemele de BAC cu o operație pe un interval, rezolvi ecuația obținută prin formulă, apoi verifici domeniul. O rădăcină corectă pe numerele reale poate fi inadmisibilă în problema inițială.

Lecția folosește legea x ∗ y = x + y + 2xy și urmărește rolul intervalului, al elementului neutru și al soluțiilor excluse. Este destinată profilurilor care includ legile de compoziție în programa aplicabilă. Compară formulările cu varianta ta din subiectele de BAC. Exemplele sunt originale, construite pentru înțelegerea restricțiilor.

Transformarea care simplifică legea

Calculăm 2(x ∗ y) + 1 = 2x + 2y + 4xy + 1. Expresia se factorizează:

2(x ∗ y) + 1 = (2x + 1)(2y + 1).

Această identitate transformă operația într-o înmulțire obișnuită după schimbarea variabilei u = 2x + 1. Ea este utilă pentru stabilitate, ecuații și operații repetate.

Nu înseamnă că x ∗ y este chiar produsul xy. Pentru x = 1 și y = 2, rezultatul legii este șapte, iar produsul obișnuit este doi. Transformarea schimbă atât argumentele, cât și rezultatul.

De ce intervalul contează

Considerăm M = (−1/2, +∞). Pentru x și y din M, numerele 2x + 1 și 2y + 1 sunt strict pozitive. Produsul lor este pozitiv, deci 2(x ∗ y) + 1 > 0. Rezultă x ∗ y > −1/2, astfel că rezultatul rămâne în M.

Am demonstrat stabilitatea intervalului. Nu este suficient că formula produce un număr real: trebuia să arătăm că rezultatul rămâne în intervalul precizat.

Mulțime	Este stabilă?	Motiv
numerele reale	da	formula este polinomială
numerele reale fără −1/2	da	produsul a două numere nenule este nenul
intervalul peste −1/2	da	produsul a două numere pozitive este pozitiv
intervalul sub −1/2	nu	produsul a două numere negative devine pozitiv

De exemplu, dacă x = y = −1, ambele sunt sub −1/2, dar x ∗ y = 0. Rezultatul nu mai aparține acelui interval, deci formula nu definește o lege internă acolo.

Elementul neutru și simetricul pe M

Elementul neutru este zero: x ∗ 0 = x și 0 ∗ x = x. El aparține intervalului M.

Pentru simetricul lui x, rezolvăm x ∗ y = 0. Obținem (1 + 2x)y = −x, deci y = −x/(1 + 2x). Pe M, numitorul este strict pozitiv și nu se anulează.

Trebuie verificat că simetricul rămâne în M. Calculăm 2y + 1 = 1/(2x + 1), care este pozitiv. Așadar y > −1/2, iar fiecare element din M are simetric în aceeași mulțime.

Asociativitatea se poate verifica folosind identitatea transformată: ambele grupări, după înmulțirea cu doi și adăugarea lui unu, dau produsul celor trei expresii 2x + 1, 2y + 1 și 2z + 1. Comutativitatea vine din simetria formulei.

Exemplul unu: două rădăcini, una admisă

Rezolvăm x ∗ x = 4 pe M. Formula dă 2x² + 2x = 4, adică x² + x − 2 = 0. Rădăcinile sunt x = 1 și x = −2.

Pe mulțimea numerelor reale, ambele verifică ecuația: pentru minus doi, suma termenilor este minus patru plus opt, adică patru. Dar −2 nu aparține lui M. Soluția problemei pe interval este numai x = 1.

Aceeași concluzie vine din transformare: (2x + 1)² = 9. Deoarece 2x + 1 este pozitiv pe M, alegem numai valoarea trei, nu și minus trei.

Nu elimina o rădăcină doar fiindcă este negativă. În interval există și numere negative, precum −1/4. Excluderea se face prin comparație cu −1/2, nu cu zero.

Exemplul doi: ecuație cu un element fix

Rezolvăm x ∗ 1 = 2 pe M. Formula este x + 1 + 2x = 2, deci x = 1/3. Valoarea aparține intervalului și verifică relația.

În general, pentru a și b din M, ecuația x ∗ a = b devine (2x + 1)(2a + 1) = 2b + 1. Obținem 2x + 1 = (2b + 1)/(2a + 1), raport strict pozitiv. Soluția este unică și rămâne în M.

Dacă lucrăm pe toate numerele reale și alegem a = −1/2, situația se schimbă: x ∗ a = −1/2 pentru orice x. Ecuația are atunci toate numerele reale ca soluții când b = −1/2 și nu are soluții pentru alt b.

Punctul exclus din M este, așadar, relevant pentru unicitatea împărțirii în raport cu această operație.

Operații repetate și semnul transformării

Pentru trei apariții ale aceluiași x, identitatea dă 2(x ∗ x ∗ x) + 1 = (2x + 1)³. Asociativitatea permite scrierea fără paranteze.

Dacă cerem x ∗ x ∗ x = 13 pe M, obținem (2x + 1)³ = 27. Rezultă 2x + 1 = 3, deci x = 1. Verificarea directă: 1 ∗ 1 = 4, iar 4 ∗ 1 = 13.

Pentru patru apariții și rezultat patruzeci, avem (2x + 1)⁴ = 81. Pe M rămâne numai 2x + 1 = 3, deci x = 1. Pe toate numerele reale ar exista și 2x + 1 = −3, adică x = −2.

Diferența dintre exponent par și impar este familiară din ecuațiile obișnuite, dar domeniul poate elimina o ramură înainte să calculezi rădăcinile.

O submulțime stabilă care nu este grup

Mulțimea H = [0, +∞) este stabilă: dacă x și y sunt nenegative, atunci x + y + 2xy este nenegativ. Elementul neutru zero aparține lui H.

Totuși, pentru x strict pozitiv, simetricul −x/(1 + 2x) este negativ și nu aparține lui H. Prin urmare, stabilitatea și existența neutrului nu sunt suficiente pentru a declara că H formează un grup cu această operație.

Această verificare arată de ce trebuie păstrată aceeași mulțime la toate proprietățile. Nu poți găsi simetrice în numerele reale și apoi să pretinzi că ele există într-un interval mai mic.

Un rezultat negativ poate avea o soluție admisă

Rezolvăm x ∗ x = −3/8 pe M. Transformarea conduce la (2x + 1)² = 1/4. Deoarece expresia din paranteză trebuie să fie pozitivă, alegem 2x + 1 = 1/2 și obținem x = −1/4. Această valoare negativă aparține intervalului. Verificarea directă dă minus o jumătate plus o optime, adică minus trei optimi.

În general, pentru b din M, ecuația x ∗ x = b are pe M o singură soluție: x = (√(2b + 1) − 1)/2. Radicalul este strict pozitiv, deci soluția este mai mare decât minus o jumătate. Dacă b este chiar minus o jumătate, formula ar da punctul exclus; dacă b este mai mic, radicalul real nu există.

Această clasificare verifică simultan valoarea membrului drept și apartenența necunoscutei. Nu este suficient să obții un radical real: la frontieră el poate produce un punct care nu aparține mulțimii. Păstrează de aceea inegalitatea strictă din definiția lui M până la răspunsul final.

Exerciții cu răspunsuri

1. Calculează simetricul lui unu pe M.
2. Rezolvă x ∗ x = 0 pe M.
3. Este −1/2 element neutru pe numerele reale?

Răspunsuri: simetricul este −1/3; ecuația pătratică are rădăcinile zero și minus unu, dar pe M rămâne zero; −1/2 este absorbant, nu neutru, deoarece orice compunere cu el dă −1/2.

Compară răspunsul algebric cu domeniul la fiecare exercițiu. Aceasta este o aplicare a învățării prin înțelegere. Dacă restricțiile se pierd în calcule, poți lucra un set de ecuații pe interval cu un profesor de matematică.

Întrebări frecvente

Verific domeniul numai la început?

Îl notezi la început și îl folosești din nou pentru fiecare soluție candidată și pentru simetrice.

O mulțime stabilă este automat grup?

Nu. Sunt necesare și asociativitatea, elementul neutru și simetricele în aceeași mulțime.

Pot elimina toate rădăcinile negative?

Nu. Verifici intervalul exact; acesta poate conține și numere negative.