Izomorfism de grupuri la BAC: verificarea funcției

Un izomorfism de grupuri este o funcție bijectivă care păstrează operația. La BAC trebuie să verifici separat cele două idei: compatibilitatea cu legile de compoziție și bijectivitatea. Faptul că formula funcției este simplă sau că trimite elementul neutru în elementul neutru nu este suficient.

Lecția vizează profilurile în a căror programă intră morfismele și izomorfismele de grupuri, în special mate-info și științe ale naturii în programa oficială de referință. Verifică programa aplicabilă sesiunii tale și compară nivelul cu subiectele de BAC. Exemplele sunt originale și folosesc funcții elementare.

Schema de verificare

Pentru grupurile (G, ∗) și (H, ∘), o funcție f: G → H este morfism dacă f(x ∗ y) = f(x) ∘ f(y), pentru orice x și y din G. Devine izomorfism dacă este și bijectivă.

Etapă	Întrebarea la care răspunzi
Domeniu și codomeniu	f trimite fiecare element al lui G în H?
Păstrarea operației	cele două expresii sunt egale pentru orice pereche?
Injectivitate	valori egale ale funcției impun argumente egale?
Surjectivitate	fiecare element din H are un argument în G?
Concluzie	sunt îndeplinite toate condițiile?

Operația din domeniu poate fi diferită de cea din codomeniu. În partea stângă a identității aplici mai întâi operația din G. În partea dreaptă aplici operația din H valorilor funcției. Scrierea aceleiași operații peste tot, fără verificarea enunțului, schimbă problema.

Grupul din exemplul principal

Pe numerele reale definim x ∗ y = x + y − 2. Formula produce un număr real pentru orice pereche reală, deci este lege internă.

Ambele grupări ale a trei elemente dau x + y + z − 4, așadar legea este asociativă. Elementul neutru este doi, deoarece x ∗ 2 = x. Simetricul lui x este 4 − x, fiindcă x ∗ (4 − x) = 2. Legea este și comutativă.

Prin urmare, avem un grup abelian. Codomeniul din prima aplicație este grupul numerelor reale cu adunarea obișnuită, al cărui element neutru este zero. Cele două grupuri au aceeași mulțime suport, dar operații și elemente neutre diferite.

Exemplul unu: un izomorfism simplu

Considerăm f(x) = x − 2. Calculăm f(x ∗ y) = f(x + y − 2) = x + y − 4. Pe de altă parte, f(x) + f(y) = (x − 2) + (y − 2) = x + y − 4.

Identitatea este valabilă pentru orice x și y reale, deci f păstrează operația. Pentru injectivitate, din x₁ − 2 = x₂ − 2 rezultă x₁ = x₂.

Pentru surjectivitate, luăm un număr real arbitrar u din codomeniu. Ecuația f(x) = u are soluția x = u + 2, care este reală. Așadar fiecare u are un antecedent.

Funcția este bijectivă și păstrează operația, deci este izomorfism. Inversa sa este f⁻¹(u) = u + 2. Verificarea neutrului oferă un control suplimentar: f(2) = 0, exact elementul neutru al codomeniului.

Exemplul doi: toate funcțiile afine dintr-o familie

Căutăm funcțiile de forma f(x) = ax + b care sunt morfisme între aceleași două grupuri. Parametrii a și b sunt reali.

Avem f(x ∗ y) = a(x + y − 2) + b = ax + ay − 2a + b. Suma f(x) + f(y) este ax + ay + 2b. Egalitatea celor două expresii este echivalentă cu b = −2a.

Prin urmare, toate morfismele din familia afină au forma f(x) = a(x − 2). Nu am demonstrat că orice morfism posibil este afin; am clasificat numai familia de funcții cerută în enunț.

Pentru a diferit de zero, ecuația a(x − 2) = u are soluția unică x = u/a + 2. Funcția este bijectivă și deci izomorfism.

Pentru a = 0, avem f(x) = 0 pentru orice x. Această funcție păstrează operația, dar nu este injectivă și nu este surjectivă pe toate numerele reale. Este morfism, însă nu izomorfism.

De ce imaginea neutrului nu ajunge

Orice morfism de grupuri trimite elementul neutru al domeniului în elementul neutru al codomeniului. În familia afină, condiția f(2) = 0 conduce chiar la 2a + b = 0, aceeași relație găsită anterior.

Totuși, această coincidență nu transformă verificarea neutrului într-un criteriu universal. Pe grupul numerelor reale cu adunarea, funcția g(x) = x² satisface g(0) = 0, dar nu este morfism aditiv.

De exemplu, g(1 + 1) este patru, în timp ce g(1) + g(1) este doi. Elementul neutru este trimis corect, dar operația nu este păstrată. Pentru o demonstrație generală, calculezi identitatea cu două argumente arbitrare.

Codomeniul poate decide bijectivitatea

Funcția h(x) = x², definită pe numerele reale nenule cu înmulțirea și având codomeniul numerelor reale strict pozitive cu înmulțirea, păstrează operația: (xy)² = x²y².

Este surjectivă pe acest codomeniu, fiindcă fiecare u pozitiv are antecedentele √u și −√u. Nu este însă injectivă: unu și minus unu au aceeași imagine. Prin urmare, nu este izomorfism.

Dacă restrângem și domeniul la numerele strict pozitive, aceeași formulă devine bijectivă. Fiecare u pozitiv are acum un singur antecedent admis, √u. Funcția este izomorfism între grupul numerelor pozitive cu înmulțirea și el însuși.

Formula a rămas neschimbată, dar domeniul a eliminat dublarea antecedentelor. Nu discuta injectivitatea fără să precizezi mulțimea pe care este definită funcția.

Un exemplu între adunare și înmulțire

Funcția p(x) = eˣ trimite numerele reale în numerele strict pozitive. Identitatea e^(x+y) = eˣ·eʸ arată că păstrează adunarea din domeniu sub forma înmulțirii în codomeniu.

Funcția exponențială este strict crescătoare, deci injectivă. Pentru fiecare u pozitiv, x = ln u este real și satisface eˣ = u, deci funcția este surjectivă. Rezultă un izomorfism între cele două grupuri.

Neutrul zero este trimis în unu, iar opusul −x este trimis în e^(−x), inversul multiplicativ al lui eˣ. Aceste relații oferă verificări suplimentare ale compatibilității, fără să înlocuiască demonstrația de bază.

Exerciții cu răspunsuri

1. În familia afină principală, alege a = 3 și află b.
2. Funcția constantă zero din exemplu este izomorfism?
3. Pentru f(x) = 3(x − 2), află antecedentul lui doisprezece.
4. Care este inversa izomorfismului exponențial?

Răspunsuri: b = −6; nu, deși este morfism; antecedentul este șase; inversa este logaritmul natural, definit pe numerele pozitive.

La fiecare exercițiu, numește operațiile din cele două grupuri. Acest pas susține înțelegerea structurii, nu doar memorarea formulei. Pentru verificarea unei demonstrații complete poți apela la un profesor din pagina de meditații la matematică.

Întrebări frecvente

Orice morfism este izomorfism?

Nu. Izomorfismul trebuie să fie și bijectiv. Funcția constantă neutră este un contraexemplu simplu.

Trebuie să verific injectivitatea și surjectivitatea separat?

Poți demonstra direct că fiecare element al codomeniului are un antecedent unic; aceasta stabilește ambele proprietăți.

Aceeași formulă poate fi izomorfism pe o mulțime și nu pe alta?

Da. Exemplul funcției pătrat arată cum restrângerea domeniului poate schimba injectivitatea.