Restul unui polinom la BAC: împărțitor cu rădăcină dublă

La împărțirea unui polinom la (x − a)², valoarea f(a) nu determină singură restul. Restul are grad cel mult unu și trebuie identificat prin două condiții. Le poți obține din valoarea polinomului și din valoarea derivatei sale în a, sau prin două împărțiri succesive la x − a.

Lecția de BAC urmărește împărțitori cu rădăcină dublă, resturi liniare și condiții de divizibilitate. Este destinată profilurilor care includ polinoame și calculul derivatelor în programa aplicabilă. Consultă varianta ta din subiectele de BAC pentru nivelul cerințelor. Exemplele sunt originale și arată de ce o condiție repetată nu aduce informație nouă.

De ce metoda cu două rădăcini distincte nu se aplică

Dacă împărțitorul ar fi (x − a)(x − b), cu a diferit de b, un rest r(x) = ux + v s-ar determina din r(a) = f(a) și r(b) = f(b). Cele două puncte distincte oferă două ecuații independente.

Pentru (x − a)², aceeași rădăcină apare de două ori. Înlocuirea lui x cu a, făcută de două ori, produce aceeași ecuație, nu două condiții diferite. Nu poți determina în general ambii coeficienți ai restului din această singură informație.

Împărțitor	Forma restului	Informații suficiente
x − a	constantă	valoarea f(a)
(x − a)(x − b), cu rădăcini distincte	liniară sau constantă	valorile în a și b
(x − a)²	liniară sau constantă	valoarea și derivata în a

Deducerea formulei restului

Scriem identitatea împărțirii: f(x) = (x − a)²q(x) + r(x), unde r are grad cel mult unu. Punând x = a, obținem r(a) = f(a).

Derivăm identitatea. Derivata termenului cu câtul este 2(x − a)q(x) + (x − a)²q′(x). La x = a, ambii termeni se anulează, deci r′(a) = f′(a).

Cum restul este liniar, derivata sa este constantă. Rezultă forma:

r(x) = f(a) + f′(a)(x − a).

Verificarea este imediată: în a, restul are valoarea f(a), iar derivata lui este f′(a). Formula nu este o aproximație în această problemă. Este restul exact al împărțirii polinomiale la pătratul factorului liniar.

Exemplul unu: rest liniar nenul

Determină restul împărțirii lui f(x) = x³ + 1 la (x − 2)². Calculăm f(2) = 9 și f′(2) = 12, deoarece derivata este 3x².

Formula dă r(x) = 9 + 12(x − 2) = 12x − 15. Restul are grad unu, strict mai mic decât gradul doi al împărțitorului.

Verificăm prin reconstruirea polinomului. Câtul este x + 4, iar (x − 2)²(x + 4) = x³ − 12x + 16. Adăugând 12x − 15, recuperăm x³ + 1.

Un răspuns egal cu nouă ar fi restul împărțirii la x − 2, nu la pătratul lui. El păstrează valoarea în doi, dar pierde informația despre termenul liniar al restului.

Exemplul doi: rădăcină simplă, nu dublă

Fie f(x) = x⁵ − 3x + 2 și împărțitorul (x − 1)². Avem f(1) = 0, dar f′(1) = 5 − 3 = 2. Restul este deci 2(x − 1), adică 2x − 2.

Polinomul se divide cu x − 1, pentru că valoarea în unu este zero. Nu se divide însă cu (x − 1)², deoarece restul la această împărțire este nenul.

Această diferență este esențială pentru multiplicitate. O rădăcină dublă cere anularea atât a polinomului, cât și a derivatei în punctul respectiv. Faptul că un factor apare în împărțitorul ales nu înseamnă că apare automat și în polinom.

Exemplul trei: parametri pentru divizibilitate

Determină a și b astfel încât x⁴ + ax + b să fie divizibil cu (x − 1)². Folosim două condiții: valoarea în unu și derivata în unu să fie zero.

Prima dă 1 + a + b = 0. Derivata este 4x³ + a, deci a doua dă 4 + a = 0. Obținem a = −4 și b = 3.

Polinomul rezultat se factorizează ca (x − 1)²(x² + 2x + 3). Câtul are în unu valoarea șase, nenulă, deci rădăcina unu este exact dublă, nu triplă.

Dacă enunțul cere numai divizibilitate cu pătratul, nu este necesar să demonstrezi că multiplicitatea este exact doi. Dacă cere „rădăcină dublă” în sens exact, verificarea câtului sau a unei derivate de ordin superior elimină posibilitatea unei multiplicități mai mari.

Exemplul patru: rest prescris

Fie P(x) = x³ + ax + b. Cerem ca restul la împărțirea cu (x − 2)² să fie 4x − 1.

În punctul doi, restul are valoarea șapte, iar derivata sa este patru. Impunem P(2) = 7 și P′(2) = 4. Rezultă 8 + 2a + b = 7 și 12 + a = 4.

A doua ecuație dă a = −8, iar prima conduce la b = 15. Polinomul este x³ − 8x + 15. Verificarea completă este P(x) = (x − 2)²(x + 4) + 4x − 1.

Nu impune P(2) = 4 doar fiindcă patru este coeficientul lui x din rest. Trebuie evaluat întregul rest în punctul doi. Coeficientul lui x reprezintă derivata restului, nu valoarea sa în orice punct.

Metoda fără derivare

Poți aplica de două ori împărțirea la x − a. Mai întâi scrii f(x) = (x − a)q₁(x) + r₀, unde r₀ = f(a). Apoi împarți q₁: q₁(x) = (x − a)q₂(x) + r₁.

Înlocuind a doua identitate în prima, obții f(x) = (x − a)²q₂(x) + r₁(x − a) + r₀. Restul căutat este r₁(x − a) + r₀.

Pentru x³ + 1 și a = 2, prima împărțire dă câtul x² + 2x + 4 și restul nouă. Câtul evaluat în doi este doisprezece, deci a doua împărțire dă restul doisprezece. Recuperăm 12(x − 2) + 9.

Această metodă arată același rezultat prin schema lui Horner și oferă o verificare independentă a calculului cu derivata.

Când folosești Horner, păstrează coeficienții zero ai puterilor absente. La a doua împărțire lucrezi cu coeficienții câtului obținut, nu cu lista inițială. Altfel repeți prima evaluare și nu obții informația suplimentară necesară pentru rădăcina dublă.

Exerciții cu răspunsuri

1. Află restul lui x² la împărțirea cu (x − 1)².
2. Află restul lui x³ la împărțirea cu (x + 1)².
3. Determină m și n astfel încât x³ + mx² + nx + 2 să aibă rădăcina −1 cel puțin dublă.

Răspunsuri: primul rest este 2x − 1; al doilea este 3x + 2; la ultimul m = 4, n = 5, iar factorizarea este (x + 1)²(x + 2). Verifică fiecare rezultat prin înmulțire sau prin valoare și derivată în rădăcina împărțitorului.

Pentru consolidare, explică de ce repetarea aceleiași valori nu aduce o ecuație nouă, în spiritul învățării prin înțelegere. Un profesor de matematică îți poate compara cele două metode pe același polinom.

Întrebări frecvente

Restul trebuie să aibă exact gradul unu?

Nu. Poate fi liniar, constant sau nul; gradul său trebuie să fie strict mai mic decât doi.

Pot folosi numai condiția f(a) = 0 pentru rădăcină dublă?

Nu. Aceasta arată numai că a este rădăcină. Mai trebuie verificată anularea derivatei.

Formula cu derivata este o aproximație?

Nu în calculul restului la (x − a)². Este o identitate exactă dedusă din împărțirea polinomială.