Limită cu parametri la BAC: cazul zero pe zero

Într-o limită cu parametri, forma zero supra zero trebuie verificată după valorile parametrilor. Uneori trebuie să anulezi atât numărătorul, cât și termenul său liniar pentru a obține o limită finită. Simplificarea unui singur factor poate să nu fie suficientă dacă numitorul se anulează de ordin mai mare.

Lecția pregătește calcule de BAC cu rapoarte de polinoame și condiții pentru existența unei limite finite. Exemplele sunt originale și folosesc factorizare sau schimbarea variabilei, fără să necesite regula lui l'Hospital. Verifică nivelul potrivit profilului tău în arhiva subiectelor de BAC.

Schema de analiză

Întrebare	Acțiune
Ce valoare are numărătorul în punct?	o calculezi înainte să alegi metoda
Ce putere a factorului se anulează la numitor?	identifici ordinul unu, doi sau mai mare
Numărătorul are același factor?	factorizezi sau rescrii în jurul punctului
Mai rămâne un termen divergent?	verifici fiecare putere rămasă la numitor
Limita trebuie să fie finită?	impui anularea tuturor termenilor care împiedică finitudinea

Expresia zero supra zero este o nedeterminare, nu rezultatul limitei. Ea semnalează că raportul trebuie transformat. În schimb, un numărător care tinde la un număr nenul și un numitor care tinde la zero necesită analiza semnului și a limitelor laterale.

Exemplul unu: numitor cu factor simplu

Determină a astfel încât limita lui (x² + ax + 2)/(x − 1), când x tinde la unu, să fie finită.

Numărătorul tinde la 3 + a. Dacă acest număr este nenul, numitorul schimbă semnul la traversarea lui unu, iar raportul are limite laterale infinite de semne opuse. Nu poate exista o limită bilaterală finită.

Prin urmare, este necesar a = −3. Numărătorul devine x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2). Pentru x diferit de unu, raportul este x − 2. Limita este minus unu.

Valoarea găsită este și suficientă, deoarece transformarea a produs o funcție continuă în vecinătatea punctului. Nu am atribuit însă o valoare fracției inițiale la x = 1; aceasta rămâne nedefinită acolo.

Exemplul doi: două condiții pentru un numitor pătratic

Căutăm a și b astfel încât limita lui (x² + ax + b)/(x − 1)², pentru x către unu, să fie finită.

Punem h = x − 1, deci x = 1 + h și h tinde la zero. Numărătorul devine h² + (2 + a)h + (1 + a + b). Împărțind prin h², pentru h nenul, obținem:

1 + (2 + a)/h + (1 + a + b)/h².

Pentru o limită finită trebuie să dispară mai întâi termenul cu 1/h², deci 1 + a + b = 0. Apoi trebuie să dispară și termenul cu 1/h, deci 2 + a = 0.

Rezultă a = −2 și b = 1. Raportul devine (x − 1)²/(x − 1)² = 1 pentru x diferit de unu, deci limita este unu.

De ce un singur zero nu ajunge

Dacă am impune numai 1 + a + b = 0, numărătorul ar avea factorul x − 1, dar nu obligatoriu pătratul acestuia. După simplificare ar putea rămâne un numitor x − 1.

De exemplu, a = 0 și b = −1 satisfac prima condiție. Raportul este (x² − 1)/(x − 1)² = (x + 1)/(x − 1), care are limite laterale de semne opuse. Limita finită nu există.

Condiția de anulare a numărătorului este necesară, dar în acest exemplu nu este suficientă. Ordinul anulării trebuie să compenseze numitorul. Această idee este mai precisă decât regula vagă „dacă obții zero supra zero, simplifici și gata”.

Clasificarea completă a limitelor laterale

În exemplul cu două condiții, notăm C = 1 + a + b și D = 2 + a. Raportul este 1 + D/h + C/h².

Dacă C este pozitiv, termenul C/h² domină și limita este plus infinit din ambele părți. Dacă C este negativ, limita este minus infinit din ambele părți. Termenul cu 1/h nu poate anula termenul de ordin superior în apropierea lui zero.

Dacă C = 0, dar D este nenul, rămâne 1 + D/h. Pentru D pozitiv, limita din dreapta este plus infinit și cea din stânga minus infinit. Pentru D negativ, semnele se inversează. Limita bilaterală nu există, nici măcar ca infinit comun.

Numai când C și D sunt ambele zero obținem limita finită unu. Această clasificare arată diferența dintre „nu este finită” și „nu există bilateral”: o limită comună plus infinit există în sens extins, dar nu este un număr real finit.

Exemplul trei: valoare prescrisă a limitei

Determină a și b astfel încât limita lui (ax² + bx − 3)/(x − 1), pentru x către unu, să fie cinci.

Pentru finitudine, numărătorul trebuie să se anuleze în unu: a + b − 3 = 0. Cu această condiție, polinomul se poate scrie (x − 1)(ax + a + b).

După simplificare, limita este 2a + b. Impunem 2a + b = 5 și rezolvăm împreună cu a + b = 3. Obținem a = 2 și b = 1.

Verificarea directă: 2x² + x − 3 = (x − 1)(2x + 3), iar limita raportului este cinci. Am folosit două informații diferite: existența limitei finite și valoarea ei cerută.

Exemplul patru: limită zero prin anulare suplimentară

Considerăm (x³ − 3x² + 3x − 1)/(x − 1)². Numărătorul este (x − 1)³. După simplificare rămâne x − 1, deci limita în unu este zero.

Aici ordinul anulării numărătorului este mai mare decât al numitorului. Dacă ordinele sunt egale, raportul factorilor rămași poate da o limită finită nenulă. Dacă ordinul numărătorului este mai mic, trebuie analizată divergența.

Această comparație se aplică factorilor polinomiali în jurul punctului studiat. Nu o transforma într-o regulă despre gradele totale ale polinoamelor la orice punct: comparația gradelor totale este utilă la infinit, nu decide singură o limită într-un punct finit.

Pentru verificarea semnului dominant, poți rescrie raportul ca (C + Dh + h²)/h². Când C este nenul, numărătorul are aproape de zero semnul lui C, iar numitorul este pozitiv. Astfel justifici riguros semnul infinitului din ambele părți.

Exerciții cu răspunsuri

1. Află a pentru ca (x² + ax + 1)/(x − 1) să aibă limită finită în unu.
2. Află limita lui (x − 2)³/(x − 2)² când x tinde la doi.
3. Poate primul raport din exerciții să aibă limita trei pentru vreun a?

Răspunsuri: a = −2, iar limita este zero; la al doilea limita este zero; la ultimul nu, deoarece singura valoare a parametrului care permite finitudinea produce limita zero.

Scrie fiecare condiție înainte de rezolvarea sistemului de parametri. Acest obicei susține înțelegerea transformărilor. Dacă diferența dintre ordinul anulării și gradul polinomului rămâne neclară, poți compara exemple pe hârtie cu un profesor de matematică.

Întrebări frecvente

Dacă numărătorul și numitorul tind la zero, limita este zero?

Nu. Raportul poate avea limită zero, finită nenulă, infinită sau poate avea limite laterale diferite.

Pot simplifica factorul care este zero în punct?

Da, pentru valorile din vecinătate diferite de punct. Limita urmărește aceste valori, nu impune definirea fracției în punct.

Este suficient să anulez numărătorul?

Nu întotdeauna. Un numitor cu factor la pătrat poate cere două condiții de anulare.