Gazul ideal: ecuația de stare și pistonul la BAC

Ecuația gazului ideal leagă presiunea, volumul, temperatura absolută și cantitatea de substanță într-o stare de echilibru. Într-o problemă cu piston, presiunea poate trebui determinată mai întâi din forțele care acționează asupra pistonului. Abia apoi o introduci în ecuația de stare.

Lecția aparține modulului Elemente de termodinamică, pentru profilurile real, militar și tehnologic din programa oficială consultată. Presupunem gaz ideal, stări de echilibru, fără reacții chimice sau pierderi de substanță dacă enunțul nu precizează altfel. Exemplele sunt teoretice și nu reprezintă instrucțiuni pentru utilizarea unor recipiente sub presiune. Pentru aplicații de examen, consultă subiectele și baremele de BAC.

Ecuația unei stări

Relația este pV = nRT, unde p este presiunea absolută, V volumul, n cantitatea de substanță, R constanta universală a gazelor și T temperatura absolută. Cu R = 8,314 J/(mol·K), folosim presiunea în pascali, volumul în metri cubi și temperatura în kelvini.

Dacă masa gazului este m, iar masa molară M, atunci n = m/M. Unitățile lui m și M trebuie să fie compatibile: de exemplu kilograme și kilograme pe mol. Nu confunda masa gazului cu masa pistonului, care poate apărea într-o ecuație mecanică separată.

Produsul pV are unitatea de energie, dar nu este automat lucrul mecanic al unei transformări. El caracterizează o stare în ecuația gazului. Lucrul unui proces depinde de variația volumului și de traseul urmat.

Conversiile care contează

Un litru este 10⁻³ m³, iar un kilopascal este 10³ Pa. Prin urmare, produsul unui kilopascal cu un litru este un joule. Această identitate poate simplifica verificările, dar trebuie folosită consecvent.

Pentru 100 kPa și 5 L, produsul pV este 500 J. Aceeași valoare rezultă din 100000 Pa × 0,005 m³. Dacă ai păstra 5 ca și cum ar fi metri cubi, ai introduce o eroare de o mie de ori.

Temperatura se convertește separat. Valoarea de 27 °C poate fi aproximată la 300 K numai dacă adoptăm constanta 273 în acel exercițiu. Ecuația nu folosește direct numărul 27 în locul temperaturii absolute.

Presiunea gazului sub un piston vertical

Considerăm un piston de masă mp și arie S, care se poate deplasa fără frecare într-un cilindru vertical. Deasupra lui acționează presiunea atmosferică p₀, iar dedesubt presiunea gazului p. În echilibru, forța pS în sus este egală cu p₀S + mpg în jos.

Rezultă p = p₀ + mpg/S. Dacă pe piston există o sarcină suplimentară, greutatea ei se adaugă în numărător. Această presiune este absolută. Termenul mpg/S reprezintă suprapresiunea necesară susținerii pistonului, nu întreaga presiune a gazului.

Formula presupune configurația verticală descrisă și lipsa frecării. Pentru un piston orizontal sau pentru alte forțe aplicate, ecuația mecanică trebuie scrisă din nou. Nu transfera automat termenul de greutate pe direcția mișcării dacă aceasta este orizontală.

Problemă cu piston: calculul cantității de gaz

Un piston vertical are masa de 10 kg și aria de 0,01 m². Presiunea atmosferică este 100 kPa, g = 10 m/s², gazul ocupă 3 L și are temperatura de 300 K. Determină presiunea gazului și cantitatea de substanță.

Greutatea pistonului este 100 N. Suprapresiunea este 100/0,01 = 10000 Pa, adică 10 kPa. Presiunea absolută a gazului este 110 kPa. Produsul pV este 110 × 3 = 330 J.

Din ecuația de stare, n = 330/(8,314 × 300), aproximativ 0,1323 mol. Dacă ai fi folosit numai suprapresiunea de 10 kPa, ai fi obținut o cantitate de unsprezece ori mai mică. Această eroare nu poate fi reparată prin rotunjire; ea provine din alegerea greșită a presiunii.

Dacă aria pistonului ar fi oferită ca 100 cm², conversia corectă este 0,01 m². Pentru suprafețe, factorul dintre centimetru și metru trebuie ridicat la pătrat. Folosirea lui 100 cm² = 1 m² ar modifica presiunea de sarcină de o sută de ori.

Două stări ale aceleiași cantități de gaz

Dacă n rămâne constant, ecuația poate fi scrisă p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂. Această relație leagă stările, fără să determine singură lucrul mecanic sau căldura schimbată între ele.

Un gaz trece de la p₁ = 100 kPa, V₁ = 2 L și T₁ = 300 K la o stare cu p₂ = 150 kPa și T₂ = 450 K. Volumul final este V₂ = p₁V₁T₂/(p₂T₁) = 2 L. Creșterea presiunii și creșterea temperaturii au același factor, deci volumul rămâne neschimbat.

Faptul că volumele inițial și final sunt egale nu demonstrează că întregul proces a fost izocor. Gazul ar fi putut urma un traseu mai complicat și să revină la același volum. Pentru tipul transformării ai nevoie de o condiție valabilă pe tot procesul, nu doar de egalitatea capetelor.

Densitatea gazului ideal

Pornind de la n = m/M și împărțind ecuația la V, obținem p = ρRT/M, unde ρ = m/V. De aici, ρ = pM/(RT). Densitatea depinde de presiune și temperatură, pentru o compoziție fixă.

Pentru p = 100000 Pa, M = 0,028 kg/mol și T = 300 K, densitatea este aproximativ 1,123 kg/m³. Dacă presiunea se dublează la aceeași temperatură, densitatea se dublează. Dacă temperatura absolută se dublează la aceeași presiune, densitatea se înjumătățește în modelul ideal.

Nu confunda densitatea cu masa molară. Masa molară caracterizează cantitatea de masă pe mol a gazului de compoziție dată. Densitatea se schimbă când gazul se comprimă sau se dilată, chiar dacă substanța rămâne aceeași.

Ce se schimbă dacă intră sau iese gaz

Relația cu n constant nu mai este valabilă dacă recipientul primește sau pierde substanță. Pentru două stări generale, n₂/n₁ = p₂V₂T₁/(p₁V₁T₂). Dacă volumul și temperatura rămân constante, cantitatea de gaz este proporțională cu presiunea absolută.

De exemplu, într-un recipient rigid menținut la aceeași temperatură, presiunea scade de la 200 kPa la 150 kPa după pierderea unei părți din gaz. Cantitatea finală este 75% din cea inițială, deci a ieșit 25%. Nu folosi aceeași concluzie dacă temperatura s-a schimbat și nu este cunoscută.

O scădere a presiunii poate proveni din răcire, din pierdere de gaz sau din ambele. Ecuația de stare ajută la separarea cauzelor numai dacă există suficiente date. Nu presupune automat o scurgere dintr-o singură valoare de presiune mai mică.

Schemă de rezolvare

Etapă	Verificare
Sistem	Este aceeași cantitate de gaz?
Presiune	Este absolută sau doar suprapresiune?
Temperatură	Este exprimată în kelvini?
Geometrie	Volumul sau aria trebuie convertite?
Relație	O stare sau comparație între două stări?
Control	Rezultatul respectă variațiile așteptate?

Dacă există piston, ecuația de forțe poate preceda ecuația gazului. Dacă există schimb de masă, păstrează n₁ și n₂ separat. Alegerea corectă a necunoscutelor este mai importantă decât memorarea unei forme rearanjate a formulei.

Exerciții și soluții

Exercițiul 1. Un gaz are p = 200 kPa și V = 4 L. Cât este pV în jouli?

Soluție: 200 × 4 = 800 J. Conversia completă în SI oferă același rezultat.

Exercițiul 2. Un piston vertical are greutatea de 60 N și aria de 0,002 m². Presiunea de deasupra este 100 kPa. Află presiunea gazului în echilibru.

Soluție: suprapresiunea este 30000 Pa, deci presiunea absolută este 130 kPa.

Exercițiul 3. Aceeași cantitate de gaz își dublează volumul și își triplează temperatura absolută. Cum se schimbă presiunea?

Soluție: p₂/p₁ = 3/2. Presiunea crește cu 50%.

Întrebări frecvente

Pot afla căldura numai din p, V și T finale?

Nu. Căldura depinde de proces, nu doar de starea finală. Ai nevoie de starea inițială și de informații despre transformare sau despre lucrul efectuat.

Este gazul ideal o descriere exactă a oricărui gaz?

Nu. Este un model. Exercițiile îl precizează, iar aplicarea la un gaz real cere verificarea domeniului în care aproximația este potrivită.

Presiunea atmosferică poate fi omisă la piston?

Numai dacă enunțul indică vid deasupra sau dacă efectul ei este deja inclus în presiunea dată. În configurația obișnuită descrisă aici, ea se adaugă presiunii produse de sarcină.

Legarea mecanicii pistonului de starea gazului dezvoltă înțelegerea relațiilor dintre capitole. Pentru verificarea presiunilor și unităților poți lucra cu un profesor de fizică.

Sursa curriculară

Parametrii de stare și ecuația gazului ideal sunt incluși în programa oficială de fizică, modulul Elemente de termodinamică. Referința este documentul istoric verificat, fără afirmații despre o nouă programă anuală.