Coeficienți calorici și relația Mayer: ghid BAC

Capacitatea calorică a unei probe, căldura specifică și capacitatea calorică molară descriu cantități diferite. Toate leagă transferul de căldură de variația temperaturii, dar folosesc alte raportări: la întreaga probă, la unitatea de masă sau la un mol. În problemele cu gaze trebuie precizat și procesul, deoarece încălzirea la presiune constantă cere altă căldură decât încălzirea la volum constant.

Lecția aparține modulului Elemente de termodinamică, pentru profilurile real, militar și tehnologic. Folosim gaz ideal, cantitate fixă și coeficienți considerați constanți pe intervalul de temperatură. Relația dintre capacitățile molare este verificată și în referința OpenStax despre capacitățile calorice ale gazului ideal. Exemplele și comparațiile numerice sunt originale.

Trei mărimi, trei unități

Capacitatea calorică a întregii probe, notată aici Cprobă, este raportul Q/ΔT pentru procesul precizat și se măsoară în J/K. Ea crește dacă folosim o cantitate mai mare din același material în aceleași condiții.

Căldura specifică c este raportul Q/(mΔT) și se măsoară în J/(kg·K). Capacitatea calorică molară Cm este Q/(nΔT), în J/(mol·K). Relațiile dintre ele sunt Cprobă = mc = nCm și Cm = Mc, cu masa molară M în kg/mol.

Mărime	Raportare	Unitate
Cprobă	Întreaga cantitate studiată	J/K
c	Un kilogram	J/(kg·K)
Cm	Un mol	J/(mol·K)

Simbolurile pot varia între manuale. Unii autori folosesc C pentru capacitatea molară, alții pentru cea a probei. Citește definiția și unitatea înainte de a înlocui valoarea într-o formulă.

De ce procesul contează la gaze

La volum constant, gazul nu efectuează lucru de volum. Dacă nu există alt tip de lucru, căldura primită este egală cu variația energiei interne. Definim capacitatea calorică molară Cv prin Qv = nCvΔT.

La presiune constantă, gazul ideal se dilată când se încălzește și efectuează lucru asupra exteriorului. Căldura primită trebuie să acopere atât creșterea energiei interne, cât și lucrul. Definim Cp prin Qp = nCpΔT.

Comparația dintre Cp și Cv se face pentru aceeași substanță și același model termic. Nu amesteca o capacitate a întregii probe cu una molară sau valori pentru cantități diferite. Diferența fizică dintre procese nu repară o nepotrivire de unități.

Deducerea relației Robert–Mayer

Pentru o creștere de temperatură ΔT, variația energiei interne a gazului ideal este nCvΔT. Într-o izobară, lucrul este nRΔT. Primul principiu dă nCpΔT = nCvΔT + nRΔT.

După simplificare, obținem Cp − Cv = R pentru capacitățile calorice molare. Dacă lucrăm cu capacitățile întregii probe, diferența este nR. Dacă lucrăm cu călduri specifice pe unitatea de masă, diferența este R/M.

Aceste trei forme exprimă aceeași relație, dar cu raportări diferite. O verificare dimensională le separă imediat: R are unitatea J/(mol·K), iar R/M are J/(kg·K). Nu scădea direct R dintr-o valoare dată în J/K pentru întreaga probă.

Modelele monoatomic, diatomic și poliatomic

În modelul monoatomic ideal cu numai energia de translație relevantă, Cv = 3R/2, iar Cp = 5R/2. Pentru un model diatomic rigid cu rotații active și vibrații neglijate, Cv = 5R/2 și Cp = 7R/2.

Într-un model poliatomic neliniar rigid, cu translații și rotații active și vibrații neglijate, se folosesc Cv = 3R și Cp = 4R. Aceste valori sunt modele termice, nu constante universale pentru orice moleculă poliatomică la orice temperatură. Moleculele liniare și contribuțiile vibraționale pot cere altă descriere.

La BAC, folosește coeficientul sau modelul precizat în enunț. Dacă se oferă direct Cv, acesta este suficient pentru ΔU și, prin Mayer, pentru Cp în modelul de gaz ideal. Nu înlocui o valoare explicită cu una memorată dintr-un tabel fără justificare.

Energia internă și alegerea coeficientului

Pentru un gaz ideal cu Cv constant, ΔU = nCvΔT, indiferent dacă procesul este izocor, izobar sau altul. Indicele v nu înseamnă că relația energiei interne poate fi folosită numai la volum constant. El provine din definirea coeficientului printr-un proces în care căldura se identifică direct cu variația energiei interne.

În schimb, Q = nCvΔT este formula căldurii pentru izocora fără alt lucru. La izobară, căldura este nCpΔT. Confundarea lui Q cu ΔU produce frecvent un rezultat prea mic pentru încălzirea izobară.

Energia internă poate fi scrisă U = nCvT plus o constantă de referință în modelul cu Cv constant. Pentru problemele de transfer, diferența ΔU este cea care intră în primul principiu și nu depinde de alegerea acelei constante.

Exemplu numeric: o probă de gaz monoatomic

O probă conține 0,4 mol de gaz ideal monoatomic. Folosim R = 8,314 J/(mol·K). Determină capacitățile molare și capacitățile întregii probe la volum și presiune constante.

Cv este 12,471 J/(mol·K), iar Cp este 20,785 J/(mol·K). Pentru întreaga probă, capacitatea la volum constant este 0,4 × 12,471 = 4,9884 J/K. La presiune constantă este 0,4 × 20,785 = 8,314 J/K.

Diferența capacităților probei este 3,3256 J/K, egală cu nR. Diferența capacităților molare este 8,314 J/(mol·K), egală cu R. Aceleași numere pot apărea în locuri diferite în exemple, dar unitățile și definițiile decid ce reprezintă fiecare.

Dacă temperatura crește cu 50 K, energia internă crește cu 249,42 J. Căldura izocoră este aceeași valoare, iar căldura izobară este 415,7 J. Diferența de 166,28 J este lucrul izobar.

Exemplu de conversie pe unitatea de masă

Un gaz ideal are Cv = 2,5R și masa molară M = 0,028 kg/mol. Capacitatea sa molară la volum constant este 20,785 J/(mol·K). Căldura specifică la volum constant este cv = Cv/M, aproximativ 742,32 J/(kg·K).

Prin Mayer, cp − cv = R/M, aproximativ 296,93 J/(kg·K). Rezultă cp ≈ 1039,25 J/(kg·K). Verificarea prin Cp = 3,5R și împărțire la M dă aceeași valoare.

Dacă masa molară este oferită în grame pe mol, convertește-o înainte de folosirea lui R în jouli și a căldurii specifice în J/(kg·K). Introducerea numărului 28 în loc de 0,028 ar produce o valoare de o mie de ori prea mică.

Aflarea coeficienților din γ

Exponentul adiabatic este γ = Cp/Cv. Împreună cu Cp − Cv = R, această relație dă Cv = R/(γ − 1) și Cp = γR/(γ − 1). Pentru γ = 1,4, obținem Cv = 2,5R și Cp = 3,5R.

Dacă γ = 5/3, rezultă Cv = 1,5R și Cp = 2,5R. Aceste rezultate sunt compatibile cu modelul monoatomic ideal. Valoarea lui γ nu trebuie confundată cu numărul de moli sau cu un coeficient de randament; este un raport fără unitate.

Într-o problemă inversă, verifică și condiția γ > 1 pentru modelul cu capacități pozitive și Mayer. Un rezultat sub unu poate indica o eroare în raport sau folosirea unor mărimi care nu sunt Cp și Cv ale aceluiași gaz ideal.

Exerciții și soluții

Exercițiul 1. Un gaz ideal are Cv = 3R. Află Cp și γ.

Soluție: Cp = 4R, iar γ = 4/3, pentru modelul caloric declarat.

Exercițiul 2. O probă are n = 2 mol. Care este diferența dintre capacitățile calorice ale întregii probe la presiune și volum constante?

Soluție: diferența este 2R, adică 16,628 J/K cu valoarea folosită pentru R.

Exercițiul 3. Un gaz primește izocor 600 J, are n = 1 mol și se încălzește cu 30 K. Află Cv.

Soluție: Cv = 600/(1 × 30) = 20 J/(mol·K). Folosești valoarea dedusă, fără a atribui automat o identitate chimică gazului.

Întrebări frecvente

Pot folosi Cp pentru variația energiei interne?

Pentru gaz ideal, variația energiei interne se calculează cu Cv. Cp intervine direct în căldura unei transformări izobare, în condițiile modelului.

Coeficienții sunt întotdeauna constanți?

Nu. Ei pot depinde de temperatură și de modurile energetice active. În exercițiile de aici sunt considerați constanți pe intervalul precizat.

De ce o probă mai mare are capacitate mai mare?

Pentru aceeași creștere de temperatură și același proces, mai multă substanță necesită mai multă energie. Capacitatea molară rămâne însă aceeași în același model.

Verifică unitățile și modelele în subiectele de BAC. Explicarea raportărilor susține învățarea prin înțelegere, iar un profesor de fizică poate identifica rapid coeficientul potrivit fiecărei cerințe.

Sursa curriculară

Coeficienții calorici, relația Robert–Mayer și energia internă a gazelor sunt incluși în programa oficială de fizică. Referința este documentul istoric verificat, fără afirmații despre un nou ordin anual.