Invariantul parității: probleme și imposibilități

Invariantul parității este o proprietate care păstrează caracterul par sau impar al unei cantități după fiecare mutare permisă. Dacă pornești de la o cantitate pară și toate mutările îi păstrează paritatea, nu poți ajunge la o cantitate impară. Acest argument poate demonstra imposibilitatea fără să încerci fiecare succesiune de mutări.

Gândește-te la un joc cu jetoane întoarse pe două fețe. Numărul fețelor roșii poate crește sau scădea, dar poate rămâne mereu par. Cantitatea exactă se schimbă; proprietatea pe care o urmărești rămâne aceeași. Asta cauți când problema întreabă dacă o configurație finală poate fi obținută.

Ce trebuie să demonstrezi, înainte să spui „imposibil”?

Un argument complet are trei părți. Identifici proprietatea stării inițiale, arăți că orice mutare permisă o păstrează și verifici că starea dorită nu are acea proprietate. Dacă sari peste partea din mijloc, ai doar o bănuială bazată pe câteva încercări.

De exemplu, adăugarea sau scăderea unui număr par păstrează paritatea. Dacă numărul inițial se scrie $2k$, după adăugarea lui $2r$ obții $2(k+r)$, tot par. Dacă inițial ai $2k+1$, rezultatul este $2(k+r)+1$, tot impar. Argumentul acoperă orice valori întregi admise, nu doar numerele încercate pe foaie.

Paritatea nu este același lucru cu proprietatea de a fi prim. Numărul doi este par și prim, iar nouă este impar și compus. Dacă aceste categorii se amestecă, reia cum recunoști numerele prime înainte să alegi proprietatea urmărită.

Problema 1: poți întoarce toate cele șapte jetoane?

Enunț: ai șapte jetoane, fiecare cu o față albă și una roșie. La început toate arată fața albă. O mutare constă în întoarcerea a exact două jetoane distincte. Poți obține șapte fețe roșii?

Urmărești numărul fețelor roșii. La început este zero, deci par. Există trei tipuri de mutări:

Fețele alese înainte de mutare	Schimbarea numărului de fețe roșii
Două albe	Crește cu 2
Una albă și una roșie	Rămâne neschimbat
Două roșii	Scade cu 2

În fiecare caz schimbarea este pară. Prin urmare, după orice număr de mutări, numărul fețelor roșii rămâne par. Șapte este impar, deci configurația cerută este imposibilă.

Nu contează că poți întoarce același jeton în mutări diferite. Demonstrația acoperă și această situație, fiindcă analizează fiecare mutare pornind de la fețele vizibile atunci. Condiția importantă este ca o mutare să întoarcă exact două jetoane distincte.

Dar șase fețe roșii se pot obține?

Paritatea nu interzice șase, însă asta nu este încă o demonstrație că șase se poate obține. Pentru existență, oferă un șir concret: numerotează jetoanele de la unu la șapte și întoarce perechile {1, 2}, {3, 4}, apoi {5, 6}. Ai șase roșii și un alb după trei mutări.

Aici ai folosit două tipuri diferite de justificare. Pentru imposibilitate, invariantul exclude toate traseele posibile. Pentru posibilitate, o singură construcție validă este suficientă. Nu inversa rolurile: câteva încercări nereușite nu dovedesc că nu există o soluție.

Dacă enunțul ar permite întoarcerea unui singur jeton, regula parității nu s-ar mai păstra. Ai putea întoarce pe rând toate cele șapte. Citește operația exactă înainte să refolosești o demonstrație dintr-o problemă asemănătoare.

Problema 2: înlocuiești două numere prin diferența lor

Enunț: pe tablă sunt scrise numerele de la 1 la 9. La fiecare pas ștergi două numere $a$ și $b$ și scrii $|a-b|$. Continui până rămâne un singur număr. Poate numărul final să fie zero?

Urmărești suma numerelor de pe tablă. Inițial ea este 45, deci impară. Presupune că ai ales $a\ge b$. Din sumă dispar $a+b$ și intră $a-b$. Suma totală scade cu $2b$, un număr par. Dacă ai ales numerele în ordinea opusă, obții același rezultat folosind numărul mai mic.

Suma nu rămâne constantă, dar paritatea ei rămâne constantă. Când pe tablă există un singur număr, acesta este chiar suma rămasă. El trebuie să fie impar. Zero fiind par, nu poate fi rezultatul final.

Modulul din operație asigură un rezultat nenegativ. Nu înlocui $|a-b|$ cu o scădere negativă atunci când ai ales întâi numărul mai mic; ai modifica regula jocului. Totodată, faptul că diferența poate fi zero într-un pas nu înseamnă că ultimul număr poate fi zero.

Un rezultat final pe care îl poți construi

Pentru aceeași problemă, poți obține cinci. Înlocuiește perechile {1, 2}, {3, 4}, {5, 6} și {7, 8} prin diferențele lor. Pe tablă rămân patru valori egale cu unu și numărul nouă.

Combină apoi nouă cu un unu și obții opt. Continuă cu celelalte valori de unu: opt devine șapte, apoi șase, apoi cinci. Ai folosit toate cele nouă numere și exact opt operații, cum cere reducerea de la nouă valori la una.

Rezultatul cinci respectă paritatea prezisă, dar construcția oferă informația suplimentară că este realizabil. Nu rezultă din acest exemplu că orice număr impar ar fi realizabil. Un rezultat mai mare decât suma inițială, de pildă, este exclus deoarece fiecare operație micșorează suma sau o lasă neschimbată.

Problema 3: un traseu pe caroiaj

Pe un caroiaj numerotat prin coordonate, pornești din punctul (0, 0) și vrei să ajungi în (3, 4). O mutare te duce cu o unitate la stânga, la dreapta, în sus sau în jos. Poți ajunge acolo în exact opt mutări?

La fiecare mutare, suma coordonatelor se schimbă cu unu sau cu minus unu. Paritatea ei se inversează. După un număr par de mutări, suma coordonatelor este pară; după un număr impar, este impară. Destinația are suma șapte, deci necesită un număr impar de mutări. Opt nu poate funcționa.

Strict vorbind, aici paritatea sumei nu este invariantă singură: alternează. Proprietatea păstrată este că paritatea sumei coordonatelor coincide cu paritatea numărului de mutări efectuate. Precizarea contează fiindcă explică de ce o alternanță poate fi totuși folosită într-o demonstrație.

Șapte mutări sunt suficiente: trei la dreapta și patru în sus. Nouă sunt suficiente adăugând o deplasare la dreapta și revenirea la stânga înaintea traseului. Trei mutări au paritatea corectă, dar nu ajung: sunt necesare minimum trei deplasări orizontale și patru verticale. Condiția de paritate nu înlocuiește distanța minimă.

Când paritatea corectă nu este suficientă?

Pornești de la 14 și ai voie numai să scazi câte 4, fără să ajungi la numere negative. Poți obține zero? Paritatea singură nu interzice: atât 14, cât și zero sunt pare.

Totuși, valorile posibile sunt 14, 10, 6 și 2. Nu ajungi la zero. O proprietate mai precisă este restul doi la împărțirea cu patru, care se păstrează după fiecare pas. Ai descoperit limita metodei: dacă primul invariant nu exclude ținta, caută o proprietate mai puternică sau construiește explicit un traseu.

Pentru a exersa această alegere, notează separat „ce observ”, „de ce se păstrează” și „ce concluzionez”. Poți integra cele trei rânduri în metoda de lucru la matematică, fără să copiezi demonstrația înainte de propria încercare.

Două întrebări pentru tine

Cu opt jetoane albe și aceeași regulă, poți obține opt roșii? Da: întorci patru perechi disjuncte. Dacă pornești cu un singur jeton roșu și întorci mereu câte două, poți ajunge la zero roșii? Nu: numărul inițial este impar, iar mutările îi păstrează paritatea.

Dacă vrei feedback pe o demonstrație, păstrează și regula mutării în caiet. În anunțurile de matematică poți căuta profesori care lucrează cu probleme de logică; cere verificarea argumentului care acoperă toate mutările, nu doar a rezultatului final.