Legile lui Kirchhoff: două ochiuri, probleme BAC

Legile lui Kirchhoff transformă o rețea electrică într-un sistem de ecuații. Dificultatea principală este alegerea și păstrarea sensurilor, mai ales când două ochiuri au o ramură comună. Un curent negativ nu înseamnă automat o rezolvare greșită: poate arăta că sensul real este opus celui ales la început.

Materialul aparține modulului Curent continuu, pentru profilurile real, militar și tehnologic. Exersăm legea nodurilor și legea ochiurilor pe circuite staționare, cu rezistoare ohmice și surse ideale. Dacă sursele au rezistențe interne date, acestea se includ explicit în rezistența ramurii corespunzătoare.

Cele două legi și ce conservă

Legea nodurilor exprimă conservarea sarcinii electrice: suma curenților care intră într-un nod este egală cu suma curenților care ies. În regim staționar nu se acumulează continuu sarcină într-un nod al circuitului.

Legea ochiurilor exprimă bilanțul variațiilor de potențial pe un contur închis. Suma algebrică a creșterilor și scăderilor de potențial este zero. La traversarea unei surse ideale de la minus la plus, variația este +E. La traversarea unui rezistor în sensul curentului ales, variația este −RI.

Sensul de parcurgere al ochiului poate fi ales independent de sensul curenților. Nu trebuie să fie același peste tot. Important este să aplici regula semnelor consecvent, raportând fiecare trecere la orientarea elementului sau a curentului.

Schema circuitului folosit

Avem două noduri, A sus și B jos, unite prin trei ramuri. Ramura din stânga conține sursa E₁ și rezistorul R₁. Ramura din dreapta conține sursa E₂ și rezistorul R₂. Ambele surse au borna pozitivă orientată spre A. Ramura centrală conține numai rezistorul R.

Alegem I₁ și I₂ orientați de la B spre A, prin ramurile cu surse. Alegem I orientat de la A spre B, prin rezistorul central. Atunci legea nodului A este I = I₁ + I₂.

Ramură	Elemente	Sens ales pentru curent
Stânga	E₁ și R₁ în serie	B spre A
Dreapta	E₂ și R₂ în serie	B spre A
Centru	R	A spre B

Ochiul stâng urcă prin sursa E₁ și coboară prin R. Ochiul drept urcă prin sursa E₂ și coboară prin același R. Ambele includ ramura centrală, dar aceasta este parcursă de curentul real de ramură I, nu de două intensități independente care ar exista separat în rezistor.

Scrierea ecuațiilor

Pentru ochiul stâng, bilanțul este E₁ − R₁I₁ − RI = 0. Pentru ochiul drept, E₂ − R₂I₂ − RI = 0. Împreună cu I = I₁ + I₂, avem trei ecuații pentru trei curenți.

Înlocuind curentul central, obținem două ecuații: (R₁ + R)I₁ + RI₂ = E₁ și RI₁ + (R₂ + R)I₂ = E₂. Acestea sunt potrivite pentru metoda reducerii sau a substituției.

Nu adăuga mecanic toate rezistențele circuitului într-un singur numitor. Rețeaua are ramificații și două surse. Legea lui Ohm pentru un circuit simplu nu înlocuiește ecuațiile necesare acestei configurații.

Exemplu rezolvat cu două surse care furnizează energie

Folosim E₁ = 15 V, R₁ = 3 Ω, E₂ = 12 V, R₂ = 6 Ω și R = 6 Ω. Ecuațiile devin 9I₁ + 6I₂ = 15 și 6I₁ + 12I₂ = 12.

Înmulțim prima ecuație cu doi: 18I₁ + 12I₂ = 30. Scădem a doua ecuație și obținem 12I₁ = 18, deci I₁ = 1,5 A. Înlocuind în a doua, 9 + 12I₂ = 12, de unde I₂ = 0,25 A.

Curentul central este I = 1,75 A. Tensiunea U_AB = IR = 10,5 V. Verificarea pe stânga dă E₁ − R₁I₁ = 15 − 4,5 = 10,5 V. Pe dreapta obținem 12 − 1,5 = 10,5 V. Toate ramurile leagă aceleași noduri, deci trebuie să dea aceeași diferență de potențial.

Bilanțul de putere confirmă rezultatul. Sursele furnizează 15 × 1,5 + 12 × 0,25 = 25,5 W. Rezistoarele disipă 3 × 1,5² + 6 × 0,25² + 6 × 1,75² = 25,5 W. Concordanța este o verificare utilă, nu o nouă ipoteză.

Exemplu în care un curent este negativ

Păstrăm aceeași topologie, dar alegem E₁ = 12 V, R₁ = 2 Ω, E₂ = 6 V, R₂ = 3 Ω și R = 6 Ω. Putem folosi tensiunea comună U pentru a verifica: I₁ = (12 − U)/2, I₂ = (6 − U)/3 și I = U/6.

Din legea nodului rezultă (12 − U)/2 + (6 − U)/3 = U/6. Înmulțind cu șase, obținem 36 − 3U + 12 − 2U = U. Prin urmare, U = 8 V.

Rezultă I₁ = 2 A, I₂ = −2/3 A și I = 4/3 A. Curentul din ramura a doua circulă în realitate de la A spre B. Nu ștergem semnul minus din ecuații: el este tocmai informația despre orientarea reală.

Tensiunea dintre noduri este mai mare decât E₂, astfel că sursa a doua primește energie electrică în model. Puterea sa furnizată algebric este E₂I₂ = −4 W. Prima sursă furnizează 24 W, iar diferența de 20 W se disipă în rezistoare. Interpretarea păstrează bilanțul energetic.

Exerciții cu răspunsuri

Exercițiul 1. În schema definită, E₁ = E₂ = 10 V, R₁ = R₂ = 2 Ω și R = 4 Ω. Determină curenții.

Simetria oferă I₁ = I₂ = j, iar I = 2j. Ecuația unui ochi este 10 = 2j + 4 × 2j, deci j = 1 A. Curentul central este 2 A și tensiunea comună este 8 V.

Exercițiul 2. Un calcul produce I₁ = 3 A și I₂ = −1 A, cu orientările din articol. Ce curent traversează ramura centrală?

Legea nodului rămâne I = I₁ + I₂, deci I = 2 A de la A spre B. Nu adunăm modulele pentru a obține 4 A. Curentul de 1 A iese din A pe ramura a doua, în sens opus celui ales inițial.

Exercițiul 3. În primul exemplu, ce se întâmplă dacă scrii ochiul stâng în sens invers?

Obții −E₁ + R₁I₁ + RI = 0, adică exact ecuația inițială înmulțită cu minus unu. Soluția nu se schimbă. Schimbarea sensului de parcurgere este permisă dacă schimbi toate semnele corespunzător.

Greșeli frecvente și verificări

La verificarea dimensională, fiecare termen al unei ecuații de ochi trebuie să fie o tensiune. Produsul dintre ohmi și amperi are unitatea volt, astfel că poate fi comparat cu tensiunea electromotoare. În ecuația nodului, fiecare termen este un curent. Dacă într-o sumă de curenți apare direct o tensiune, lipsește o împărțire la rezistență sau ai combinat două legi în mod incorect. Acest control simplu este util înainte de rezolvarea sistemului, deoarece previne propagarea unei ecuații scrise greșit.

Nu atribui ramurii comune doar I₁ sau doar I₂. Nu schimba sensul unui curent la mijlocul calculului fără să rescrii ecuațiile. Nu folosi toate ecuațiile posibile ca și cum ar fi independente: unele pot fi combinații ale celorlalte.

Înainte de examen, scrie separat legea nodului și două bilanțuri de tensiune pe subiecte de BAC. Explicarea fiecărui semn dezvoltă înțelegerea circuitului. Dacă sistemul algebric este corect, dar interpretarea nu, cere unui profesor de fizică să verifice orientările din schemă.

Întrebări frecvente

Trebuie să ghicesc sensul real înainte de calcul?

Nu. Alegi un sens convenabil. Semnul rezultatului arată dacă alegerea coincide cu sensul real.

Pot folosi tensiunea dintre noduri ca necunoscută?

Da. Scrii curenții ramurilor în funcție de aceeași tensiune și aplici legea nodului. Este aceeași fizică, exprimată printr-o altă alegere a necunoscutelor.

O sursă furnizează mereu energie?

Nu în orice circuit. Dacă sensul curentului o face să primească energie, puterea furnizată algebric este negativă. Funcționarea concretă depinde de tipul sursei; aici discutăm modelul teoretic.

Surse

Domeniul este stabilit prin programa oficială de fizică. Convențiile sunt verificate în OpenStax, regulile lui Kirchhoff. Circuitele numerice sunt originale.