Mediana și modul unui set de date: exemple

Mediana este valoarea centrală a datelor ordonate, iar modul este valoarea care apare cel mai des. Pentru un număr par de observații, mediana este media aritmetică a celor două valori din mijloc. Modul poate fi unic, pot exista mai multe valori modale sau poate să nu existe o valoare care se distinge prin frecvență.

Aceste rezultate răspund la întrebări diferite. Mediana arată unde se află mijlocul listei ordonate. Modul arată ce rezultat întâlnești cel mai frecvent. Nu le alegi după cât de ușor se calculează, ci după informația pe care vrei să o descrii.

Cum afli mediana când ai un număr impar de valori?

Cinci elevi au rezolvat o fișă în 14, 9, 12, 8 și 11 minute. Mai întâi ordonezi timpii: 8, 9, 11, 12, 14. Valoarea centrală este 11, deci mediana timpilor este 11 minute.

Dacă alegi pur și simplu al treilea număr din lista inițială, obții 12. Aceasta este poziția centrală pe foaie, dar nu mediana. Ordinea în care ai primit răspunsurile nu are semnificație statistică în acest calcul.

Pentru $n$ observații, cu $n$ impar, poziția centrală este $(n+1)/2$. În exemplu, poziția este a treia. Numărul 3 indică poziția, în timp ce 11 minute reprezintă valoarea medianei. Păstrează această deosebire și când lista este mai lungă.

Pentru 17 observații ordonate, cauți a noua valoare. Rămân opt observații înaintea ei și opt după ea. Valorile nu trebuie să fie toate diferite: repetițiile se păstrează, deoarece fiecare corespunde unei observații reale.

Ce faci dacă în mijloc sunt două valori?

Șase timpi ordonați sunt 7, 8, 10, 13, 15 și 19 minute. Pozițiile centrale sunt a treia și a patra, ocupate de 10 și 13. Mediana este:

$$M=\frac{10+13}{2}=11{,}5\text{ minute}.$$

Nu alegi arbitrar una dintre cele două valori și nu aduni toate datele. Calculul folosește numai perechea centrală. Dacă ai nevoie să separi această operație de calculul mediei întregii liste, poți compara explicația cu formulele pentru media aritmetică și ponderată.

O mediană de 11,5 minute este posibilă chiar dacă nimeni nu a avut exact acest timp. La un număr par de observații, rezultatul calculat poate să nu apară în date. Nu înseamnă că ai inventat o observație; ai calculat un indicator.

Pentru 40 de valori ordonate, folosești valorile de pe pozițiile 20 și 21. Nu pozițiile 19 și 20 și nici valorile numerice 20 și 21, dacă acestea nici măcar nu apar în listă.

Cum găsești modul fără să îl confunzi cu frecvența?

La opt încercări, un elev a rezolvat corect 2, 4, 3, 4, 5, 4, 2 și 6 itemi. Construiește un tabel:

Itemi corecți	Număr de apariții
2	2
3	1
4	3
5	1
6	1

Modul este 4 itemi corecți, deoarece această valoare apare de trei ori. Frecvența maximă este 3, însă modul nu este 3. Prima coloană arată rezultatele, iar a doua arată cât de des apar.

Suma frecvențelor trebuie să fie opt, numărul încercărilor. Dacă suma este șapte sau nouă, verifică transcrierea înainte să cauți modul. Un tabel îngrijit nu compensează o observație omisă sau numărată de două ori.

Modul se poate folosi și pentru categorii. Dacă din nouă cartonașe cinci sunt verzi, trei galbene și unul violet, categoria modală este verde. Nu calculezi media culorilor; frecvența este suficientă pentru întrebarea pusă.

Pot exista două moduri sau niciun mod?

Pentru lista 1, 1, 3, 3, 4, 6, valorile 1 și 3 apar fiecare de două ori, mai des decât celelalte. Lista are două valori modale. Nu faci media lor pentru a obține un presupus mod unic: 2 nici măcar nu apare în date.

Pentru 2, 5, 7 și 9, toate frecvențele sunt egale. În convenția școlară uzuală, spui că lista nu are mod, deoarece nicio valoare nu se repetă mai des decât celelalte. Unele definiții generale numesc modale toate valorile care ating frecvența maximă; dacă un exercițiu precizează o convenție, o urmezi.

Această nuanță devine vizibilă și la 2, 2, 5, 5, 7, 7. Toate valorile distincte au aceeași frecvență. Scrie explicit ce observi, în loc să ascunzi situația într-un singur număr fără explicație.

Cum calculezi mediana dintr-un tabel de frecvențe?

Ai următoarele numere de cărți citite într-o activitate imaginară:

Cărți	Elevi	Poziții în lista ordonată
0	2	1–2
1	4	3–6
2	3	7–9
3	1	10

Există zece observații. Mediana folosește pozițiile 5 și 6, ambele ocupate de valoarea 1. Prin urmare, mediana este o carte. Modul este tot 1, deoarece patru elevi au această valoare.

Nu calculezi mediana din lista scurtă 0, 1, 2, 3. Aceasta ar trata fiecare valoare distinctă ca fiind reprezentată de un singur elev. Ai pierde exact informația transmisă de frecvențe.

Coloana pozițiilor este o verificare utilă: următorul grup începe imediat după ultimul loc ocupat de grupul anterior. Ultima poziție trebuie să coincidă cu numărul total de elevi. Pentru tabele mari, frecvențele cumulate îndeplinesc același rol.

De ce o valoare extremă modifică diferit media și mediana?

Cinci încercări durează 6, 8, 9, 10 și 12 minute. Mediana este 9, iar media este 9. Dacă ultima încercare durează 42 de minute, lista devine 6, 8, 9, 10, 42. Mediana rămâne 9, însă media devine 15.

Valoarea centrală nu și-a schimbat poziția. Suma timpilor a crescut cu 30, așa că media a crescut cu șase minute. Această comparație explică de ce doi indicatori corecți pot transmite impresii diferite despre aceeași activitate.

Nu rezultă că mediana este întotdeauna mai potrivită. Dacă vrei timpul total necesar pentru toate încercările, media și numărul lor permit recuperarea sumei. Mediana singură nu oferă această informație. Alegerea indicatorului trebuie legată de întrebare.

Nici afirmația „mediana nu se schimbă niciodată” nu este corectă. Dacă modifici sau adaugi suficiente observații, pozițiile centrale se schimbă. În exemplul nostru s-a schimbat doar cea mai mare valoare, care a rămas la capătul listei.

Cum verifici un răspuns într-o problemă cu date?

Scrie unitatea lângă rezultat și păstrează lista ordonată. Numără observațiile, stabilește dacă numărul lor este par sau impar și identifică pozițiile centrale înainte să faci calculul. Pentru mod, caută frecvența maximă și verifică dacă este atinsă de mai multe valori.

Aceste două trasee de lucru pot fi incluse în metoda de învățare la matematică în cinci pași: întâi rezolvi, apoi explici ce informație reprezintă fiecare număr. Dacă spui „modul este trei”, precizează dacă trei este rezultatul observat sau frecvența lui.

Exerciții cu răspunsuri explicate

1. Pentru 12, 4, 7, 4, 9, mediana este 7, după ordonarea 4, 4, 7, 9, 12. Modul este 4.
2. Pentru 3, 6, 8, 11, mediana este 7, media valorilor centrale 6 și 8. Nu există o valoare cu frecvență mai mare decât celelalte.
3. Pentru 2, 2, 5, 5, 9, mediana este 5, iar valorile modale sunt 2 și 5.
4. Dacă șapte valori ordonate au a patra valoare 18, mediana este 18, indiferent de distanțele dintre celelalte valori.

Dacă greșești repetat la tabele, păstrează un exemplu complet și arată exact unde pierzi pozițiile. Este o dificultate concretă pe care o poți discuta când consulți anunțurile pentru meditații la matematică.

Întrebări frecvente

Elimin repetițiile înainte să calculez mediana?

Nu. Lucrezi cu toate observațiile. Eliminarea repetițiilor schimbă setul de date și poate schimba mediana.

Mediana trebuie să fie număr întreg?

Nu. Pentru un număr par de observații întregi, media celor două valori centrale poate avea o jumătate.

Unde pot verifica definițiile?

OpenStax explică mediana și modul, inclusiv pozițiile centrale și frecvențele. Listele, tabelele și exercițiile de aici sunt exemple construite separat.