Probleme cu vârste: ecuații și verificarea răspunsului

În problemele cu vârste, adaugi sau scazi același număr de ani pentru fiecare persoană. Diferența dintre vârste rămâne constantă, dar raportul dintre ele se schimbă. Ca să scrii ecuația corectă, așază vârstele într-un tabel cu momentele indicate: acum, peste un număr de ani sau cu un număr de ani în urmă.

Exemplele sunt construite pentru acest articol și folosesc modelul școlar în care vârstele sunt comparate la aceleași momente, cu intervalele de timp precizate în ani. Nu discutăm aici date de naștere și zile de aniversare. Dacă o problemă îți dă explicit date calendaristice, trebuie să lucrezi cu ele, fără să le înlocuiești automat cu acest model simplificat.

Ce rămâne neschimbat când trece timpul?

Dacă două persoane au acum 14 și 38 de ani, diferența este 24. Peste 5 ani vor avea 19 și 43, iar diferența va fi tot 24. În scriere generală, $(b+t)-(a+t)=b-a$. Cei t ani se reduc în calcul.

Raportul nu rămâne constant: 38/14 nu este egal cu 43/19. De aceea, enunțul „are acum de trei ori vârsta” nu înseamnă că relația se va păstra. Prima întrebare pe care o pui când citești „de două ori” sau „de trei ori” este: la ce moment se referă?

Exemplul 1: peste câți ani se schimbă raportul?

Problemă: Irina are 12 ani, iar mama ei are 36 de ani. Peste câți ani mama va avea dublul vârstei Irinei?

Notezi cu t numărul de ani care trebuie să treacă. Nu notezi cu t vârsta Irinei, fiindcă aceea este deja cunoscută. Tabelul arată astfel:

Persoană	Acum	Peste t ani
Irina	12	12 + t
Mama	36	36 + t

Relația se referă la coloana viitorului: $36+t=2(12+t)$. Desfaci paranteza: 36 + t = 24 + 2t. Rezultă t = 12. Răspunsul cerut este „peste 12 ani”, nu „12 ani” fără explicație.

Verifici vârstele de atunci: Irina va avea 24, iar mama 48. Relația 48 = 2 × 24 este adevărată. Diferența rămâne 24, exact ca în prezent. Greșeala 36 + t = 2 × 12 ar lăsa-o pe Irina la aceeași vârstă în timp ce mama îmbătrânește.

Pentru partea de calcul, încearcă întâi să rezolvi ecuația fără poveste, apoi revino la sensul necunoscutei. Metoda de învățare la matematică te ajută să separi înțelegerea modelului de antrenamentul transformărilor algebrice.

Exemplul 2: vârstele actuale dintr-o relație din trecut

Problemă: Unchiul lui Radu este cu 24 de ani mai în vârstă decât el. Acum 4 ani, unchiul avea de trei ori vârsta lui Radu. Ce vârste au acum?

Notezi cu x vârsta actuală a lui Radu. Unchiul are acum x + 24. Acum 4 ani, Radu avea x − 4, iar unchiul avea x + 20. Nu scazi 4 din diferența de vârstă; o scazi din vârsta fiecărei persoane.

Ecuația este x + 20 = 3(x − 4). Rezultă x + 20 = 3x − 12, deci 32 = 2x și x = 16. Unchiul are 40 de ani. În urmă cu 4 ani aveau 12 și 36, iar 36 = 3 × 12. Și diferența actuală este corectă: 40 − 16 = 24.

Dacă ai răspunde „12 și 36”, ai folosi vârstele corecte pentru momentul greșit. Rezolvarea cere vârstele de acum. Pune în răspuns numele persoanei și momentul, mai ales când ai mai multe coloane pe foaie.

Exemplul 3: suma de acum și raportul din viitor

Problemă: Vârstele actuale ale Anei și ale fratelui ei au suma 30 de ani. Peste 3 ani, Ana va avea dublul vârstei fratelui. Câți ani are fiecare acum?

Alegi x pentru vârsta actuală a fratelui. Ana are 30 − x. Peste 3 ani, fratele va avea x + 3, iar Ana 33 − x. Ecuația este 33 − x = 2(x + 3). Obții 33 − x = 2x + 6, apoi 27 = 3x și x = 9.

Fratele are acum 9 ani, Ana are 21. Peste 3 ani vor avea 12 și 24, ceea ce respectă raportul. Suma de acum este 30, iar suma de atunci este 36. Pentru două persoane, după 3 ani suma vârstelor crește cu 6, nu cu 3.

Poți folosi această observație ca a doua rezolvare. Peste 3 ani, suma va fi 36. Dacă vârstele sunt o parte și două părți, cele trei părți egale fac 36; o parte este 12. Revii în prezent scăzând 3 din ambele vârste.

Exemplul 4: când răspunsul negativ spune ceva util

Problemă: O mamă are 42 de ani, iar fiica ei are 18 ani. Peste câți ani mama va avea triplul vârstei fiicei?

Scrii 42 + t = 3(18 + t). Rezultă 42 + t = 54 + 3t, deci t = −6. Numărul negativ nu înseamnă „peste minus șase ani” ca răspuns acceptabil la cerință. Relația a fost adevărată cu 6 ani în urmă: atunci aveau 36 și 12.

Pentru viitor, cerința nu are soluție. Poți verifica și fără rezolvarea completă: 3(18 + t) − (42 + t) = 12 + 2t, care este pozitiv pentru orice t ≥ 0. Vârsta mamei nu poate egala triplul vârstei fiicei la un moment viitor în acest model.

Poate o vârstă fracționară să fie corectă?

Da, dacă enunțul permite vârste exacte exprimate în ani și luni. De exemplu, 12,5 ani înseamnă 12 ani și 6 luni. Nu înseamnă 12 ani și 5 luni: partea zecimală este o fracțiune dintr-un an, deci o înmulțești cu 12.

Dacă problema cere vârste în ani împliniți și presupune valori întregi, o soluție fracționară poate semnala că ai interpretat greșit datele sau că acestea sunt incompatibile. Nu rotunji automat. Rotunjirea poate strica tocmai egalitatea din care ai obținut răspunsul.

Două probleme pentru tine, cu răspunsuri verificate

Prima: Două surori au împreună 32 de ani. Cea mare este cu 6 ani mai în vârstă. Ce vârste vor avea peste 4 ani? Notezi vârsta celei mici cu x: x + x + 6 = 32, deci x = 13. Acum au 13 și 19, iar peste 4 ani vor avea 17 și 23. Diferența este tot 6.

A doua: Un tată are 45 de ani, iar fiul 15. Cu câți ani în urmă tatăl avea de șase ori vârsta fiului? Notezi cu t anii trecuți de atunci și scrii 45 − t = 6(15 − t). Rezultă 5t = 45, deci t = 9. Atunci aveau 36 și 6 ani; 36 = 6 × 6.

În a doua problemă, verifici și t < 15: fiul trebuie să fie deja născut și să aibă vârstă pozitivă la momentul comparat. Valoarea 9 respectă condiția. Tabelul timpului ajută, dar nu înlocuiește interpretarea situației.

Cum verifici o sumă pentru trei persoane?

Dacă trei frați au împreună 42 de ani, peste cinci ani vor avea împreună 57. Fiecare adaugă cinci ani, deci suma crește cu cincisprezece. Nu ai nevoie să cunoști vârsta fiecăruia pentru acest răspuns.

În schimb, suma singură nu îți permite să afli toate cele trei vârste. 10, 14 și 18 respectă totalul, dar și 11, 14 și 17 îl respectă. Dacă problema cere vârstele individuale, caută relațiile suplimentare din enunț. O ecuație construită corect poate lăsa mai multe posibilități; nu inventa diferențe sau rapoarte ca să obții un singur rezultat.

În cazul celor trei frați, media aritmetică este 42 împărțit la 3, adică 14 ani. Media descrie grupul; nu dovedește că fiecare frate are 14 ani. Exemplele de mai sus arată de ce suma și numărul persoanelor nu determină vârstele individuale.

Ce exersezi dacă încă încurci momentele?

Ia o problemă și construiește numai tabelul, fără ecuație. Citește apoi fiecare coloană cu voce tare: cine, ce vârstă, la ce moment. Abia după aceea alege relația „sumă”, „diferență” sau „de atâtea ori”. Nu amesteca două coloane în aceeași comparație, dacă enunțul nu le leagă explicit.

Dacă te blochezi mereu la aceeași coloană, păstrează tabelul și încercarea ta. Le poți folosi când discuți obiectivul unei lecții cu un profesor găsit în anunțurile de matematică: traducerea momentelor din enunț, alegerea necunoscutei sau verificarea răspunsului.