Raportul de încrucișare la BAC: cele trei regiuni

Raportul de încrucișare există când două clase au obiecte comune, dar fiecare are și obiecte care nu aparțin celeilalte. Pentru „elev” și „sportiv”, poți avea elevi sportivi, elevi care nu sunt sportivi și sportivi care nu sunt elevi. Toate cele trei regiuni contează.

La BAC, nu este suficient să găsești un singur obiect comun. Clasele aflate în identitate sau subordonare au și ele elemente comune. Ca să dovedești încrucișarea, verifici intersecția și ambele diferențe dintre clase. Această lecție îți arată cum construiești justificarea și cum citești diagrama fără să adaugi informații.

Schema celor trei martori

Regiune	Ce cauți	Pentru „elev” și „sportiv”
A și B	Un obiect comun	Un elev care practică un sport
Numai A	Un A care nu este B	Un elev care nu este sportiv
Numai B	Un B care nu este A	Un sportiv care nu este elev

Într-o diagramă Euler, desenezi două cercuri care se intersectează parțial. Zona comună reprezintă obiectele care satisfac ambele condiții. Cele două porțiuni rămase reprezintă membrii exclusivi. Desenul trebuie să păstreze vizibile toate cele trei regiuni.

Nu presupune că porțiunile au efective egale fiindcă le-ai desenat simetric. Forma geometrică servește relației logice, nu măsurării numărului de membri. Într-un grup concret, intersecția poate avea un membru, iar celelalte regiuni pot avea zeci.

Exemplu rezolvat cu numere

Consideră universul numerelor naturale, A = „număr natural par”, B = „număr natural multiplu de trei”. Numărul 6 este comun: este par și divizibil cu trei. Numărul 2 aparține numai lui A, iar 3 aparține numai lui B. Prin urmare, termenii sunt în raport de încrucișare.

Justificarea este completă fiindcă ai oferit câte un martor pentru fiecare regiune cerută. Dacă ai scris numai „6 aparține ambelor clase”, ai demonstrat existența intersecției, dar nu ai exclus posibilitatea subordonării. Numerele 2 și 3 sunt cele care resping cele două incluziuni integrale.

Numărul 5 nu aparține nici lui A, nici lui B. El poate fi plasat în exteriorul ambelor cercuri, în interiorul universului. Existența unei asemenea regiuni exterioare nu definește încrucișarea, dar poate fi importantă când problema cere relații între mai mulți termeni.

Cum diferă de subordonare

Pentru A = „multiplu de șase” și B = „multiplu de trei”, găsești obiecte comune, dar nu poți găsi un A care nu este B. Orice multiplu de șase este multiplu de trei. Una dintre regiunile exclusive este vidă, deci nu ai încrucișare.

Comparația arată de ce două exemple comune nu sunt mai convingătoare decât unul. Chiar dacă enumeri 6, 12, 18 și 24, tot nu ai verificat diferențele. Întrebarea decisivă rămâne: „Există un obiect doar în prima clasă și unul doar în a doua?”.

Nici faptul că termenii par diferiți ca sens nu garantează încrucișarea. „Triunghi” și „figură cu trei laturi” pot avea aceeași extensiune în cadrul geometric relevant. Diferența dintre expresii trebuie analizată prin obiectele desemnate, nu prin numărul cuvintelor distincte.

Exemplu rezolvat cu o listă de participanți

Într-un atelier imaginar, participanții care desenează sunt Ana, Bogdan și Cora. Cei care cântă sunt Cora, Daria și Emil. Intersecția conține Cora. Numai în prima clasă sunt Ana și Bogdan; numai în a doua sunt Daria și Emil. Raportul este de încrucișare.

Dacă Filip participă la atelier, dar nici nu desenează, nici nu cântă, îl plasezi în afara ambelor cercuri. Nu îl adaugi într-o clasă doar pentru a umple desenul. Într-o problemă cu liste finite, datele explicite au prioritate față de presupunerile despre ce ar putea face participanții.

Poți verifica și numărul membrilor reuniunii: trei plus trei minus un membru comun înseamnă cinci persoane care desenează sau cântă. Scazi intersecția deoarece Cora fusese numărată de două ori. Calculul este auxiliar; raportul de încrucișare era deja stabilit prin cele trei regiuni nevide.

Cum traduci raportul în propoziții

Încrucișarea dintre A și B permite enunțurile „Unii A sunt B”, „Unii A nu sunt B” și „Unii B nu sunt A”. Primul afirmă existența intersecției. Celelalte afirmă existența regiunilor exclusive. Împreună descriu structura relevantă a raportului.

Nu înlocui „unii” cu „toți” în primul enunț. „Toți A sunt B” ar elimina regiunea numai A, ceea ce ar contrazice încrucișarea strictă. De asemenea, „Niciun A nu este B” ar elimina intersecția și ar descrie o formă de excludere.

În logica propozițiilor categorice, „unii” are sens existențial: cel puțin un membru. Nu înseamnă obligatoriu „puțini” și nici nu stabilește singur că există membri în afara predicatului. Regiunea numai A este susținută de enunțul separat „Unii A nu sunt B”.

Verifică aceste traduceri folosind subiectele de BAC. Desenează după informația dată, apoi citește fiecare propoziție în raport cu zona pe care o afirmă sau o exclude.

Exerciții

1. A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5}. Identifică toate cele trei regiuni necesare încrucișării.
2. „Număr natural par” și „număr natural impar” sunt încrucișați? Explică folosind prima condiție.
3. Un coleg justifică încrucișarea dintre „dreptunghi” și „pătrat” prin faptul că un pătrat aparține ambelor clase. Ce condiție lipsește?
4. Construiește două clase finite încrucișate, fiecare cu câte trei membri și cu doi membri comuni.

Rezolvări explicate

În primul exercițiu, intersecția este {3, 4}, regiunea numai A este {1, 2}, iar regiunea numai B este {5}. Toate sunt nevide, deci raportul este de încrucișare. Nu trebuie să cunoști alte elemente ale universului pentru această concluzie.

În al doilea, intersecția este vidă: niciun număr natural nu este simultan par și impar. Prima condiție a încrucișării eșuează. Clasele acoperă împreună universul numerelor naturale, dar aceasta este o informație despre un alt raport, nu un argument pentru încrucișare.

În al treilea, lipsește un pătrat care să nu fie dreptunghi. Nu poate fi oferit un asemenea exemplu în geometria plană obișnuită. Clasele sunt în ordonare, cu pătratele incluse în dreptunghiuri. Exemplul comun nu stabilește singur raportul.

Pentru ultimul, poți alege A = {Ana, Bogdan, Cora} și B = {Bogdan, Cora, Daria}. Ana și Daria asigură regiunile exclusive, iar Bogdan și Cora asigură intersecția. Reuniunea are patru membri, nu șase, fiindcă cei doi membri comuni nu se numără de două ori.

Întrebări frecvente

Este suficient să spun că termenii au ceva în comun?

Nu. Trebuie să explici și ce rămâne exclusiv în fiecare clasă. Folosește trei exemple sau trei regiuni, nu numai zona comună.

Cum pot verifica singur diagrama?

Încearcă să plasezi câte un obiect în fiecare regiune. Acest exercițiu testează înțelegerea regulii. Dacă o regiune pare imposibilă, verifică relația cu un profesor ales din anunțurile de meditații la logică.

Reper de programă

Raportul face parte din tema termenilor din programa oficială de logică. Exemplele sunt originale; consultă documentele aplicabile sesiunii tale.