Reguli de calcul cu radicali: formule și exemple

Principalele reguli de calcul cu radicali se învață în clasa a VII-a și apar în fiecare subiect de Evaluare Națională, de obicei într-un exercițiu de calcul de la subiectul I. Sunt puține: radicalul unui produs, radicalul unui cât, scoaterea factorilor și raționalizarea numitorului. Partea care încurcă este alta. Radicalii se înmulțesc ușor, dar nu se adună decât dacă sunt la fel. Mai jos găsești fiecare regulă, cu exemple rezolvate și cu greșelile de evitat.

Pe scurt:

• Produs: √(a · b) = √a · √b.

• Cât: √(a / b) = √a / √b.

• Scoaterea factorilor: √12 = √(4 · 3) = 2√3.

• Adunarea: se adună doar radicalii asemenea. 2√3 + 5√3 = 7√3.

• Raționalizarea: 1 / √2 = √2 / 2.

Ce este radicalul?

Radicalul de ordinul 2 al unui număr pozitiv a, scris √a, este numărul pozitiv al cărui pătrat este a.

• √9 = 3, pentru că 3² = 9

• √25 = 5

• √0 = 0

Trei lucruri de reținut:

• radicalul este întotdeauna pozitiv sau zero. √9 este 3, nu −3;

• radicalul dintr-un număr negativ nu există în mulțimea numerelor reale;

• (√a)² = a, iar √(a²) = |a|. De exemplu, √((−3)²) = √9 = 3.

Numerele ca √2, √3 și √5 sunt iraționale: au o infinitate de zecimale, fără perioadă. Valori aproximative utile: √2 este aproximativ 1,41, √3 este aproximativ 1,73, iar √5 este aproximativ 2,24.

Care sunt regulile de bază?

Pentru numere pozitive a și b:

• radicalul unui produs: √(a · b) = √a · √b

• radicalul unui cât: √(a / b) = √a / √b

Citite de la dreapta la stânga, aceleași reguli arată cum se înmulțesc și cum se împart radicalii:

• √2 · √8 = √16 = 4

• √18 / √2 = √9 = 3

Cum scoți factorii de sub radical?

Scrii numărul ca produs în care unul dintre factori este pătrat perfect, cât mai mare, apoi extragi radicalul din acel factor.

• √12 = √(4 · 3) = 2√3

• √50 = √(25 · 2) = 5√2

• √48 = √(16 · 3) = 4√3

• √72 = √(36 · 2) = 6√2

• √180 = √(36 · 5) = 6√5

Dacă nu vezi pe loc pătratul perfect, descompune numărul în factori primi: 72 = 2³ · 3² = (2² · 3²) · 2, deci √72 = 2 · 3 · √2 = 6√2.

Un rezultat se consideră terminat doar când sub radical nu mai rămâne niciun factor pătrat perfect.

Cum introduci factorii sub radical?

Este operația inversă: ridici factorul la pătrat și îl înmulțești cu numărul de sub radical.

• 3√2 = √(9 · 2) = √18

• 2√5 = √(4 · 5) = √20

Este utilă mai ales la compararea numerelor.

Cum aduni și cum scazi radicali?

Se adună și se scad doar radicalii asemenea, adică cei care au același număr sub radical. Se adună coeficienții, iar radicalul rămâne neschimbat, exact ca la termenii asemenea din algebră.

• 2√3 + 5√3 = 7√3

• 6√2 − 2√2 = 4√2

Dacă radicalii sunt diferiți, scoți întâi factorii:

• √12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3

• √50 − √18 = 5√2 − 3√2 = 2√2

Dacă nici după scoaterea factorilor nu devin asemenea, suma rămâne așa cum este: √2 + √3 nu se poate restrânge.

Cum înmulțești și cum împarți radicali?

Înmulțirea: coeficienții se înmulțesc între ei, iar numerele de sub radical între ele.

• 2√3 · 5√2 = 10√6

• √5 · √5 = 5

• 3√2 · 4√2 = 12 · 2 = 24

Împărțirea: la fel, coeficient la coeficient și radical la radical.

• 6√10 : 2√5 = 3√2

Paranteze cu radicali. Se desfac cu formulele de calcul prescurtat:

• (√3 + √2)² = 3 + 2√6 + 2 = 5 + 2√6

• (√5 − 1) · (√5 + 1) = 5 − 1 = 4

Cum raționalizezi numitorul?

A raționaliza înseamnă a scăpa de radicalul de la numitor. Valoarea fracției nu se schimbă, pentru că amplifici.

Numitor cu un singur radical. Amplifici cu acel radical.

• 1 / √2 = √2 / 2

• 6 / √3 = 6√3 / 3 = 2√3

Numitor cu sumă sau diferență. Amplifici cu expresia conjugată, adică aceeași expresie, cu semnul schimbat între termeni. La numitor apare o diferență de pătrate.

• 1 / (√3 − 1) = (√3 + 1) / (3 − 1) = (√3 + 1) / 2

• 2 / (√5 + √3) = 2 · (√5 − √3) / (5 − 3) = √5 − √3

Cum compari numere cu radicali?

Introduci factorii sub radical și compari numerele de sub radical.

Exemplu. Compară 3√2 cu 2√3.

• 3√2 = √18

• 2√3 = √12

• 18 este mai mare decât 12, deci 3√2 este mai mare

Între ce numere întregi se află un radical? Cauți pătratele perfecte vecine. Pentru √50: 49 este mai mic decât 50, iar 64 este mai mare, deci √50 este între 7 și 8.

Ce pătrate perfecte merită știute pe de rost?

• 11² = 121

• 12² = 144

• 13² = 169

• 14² = 196

• 15² = 225

• 16² = 256

• 17² = 289

• 18² = 324

• 19² = 361

• 20² = 400

Cu ele, recunoști imediat că √196 = 14 sau că √324 = 18.

Care sunt greșelile cele mai frecvente?

1. Radicalul unei sume. √(a + b) nu este √a + √b. Verifică: √(9 + 16) = √25 = 5, dar √9 + √16 = 3 + 4 = 7.

2. Radicali diferiți adunați. √2 + √3 nu este √5.

3. Coeficientul introdus greșit. 2√3 este √12, nu √6. Coeficientul se ridică la pătrat.

4. Factorii scoși incomplet. √72 = 3√8 nu este un rezultat final. Corect este 6√2.

5. Modulul uitat. √(a²) este |a|. Pentru a = −3, rezultatul este 3.

6. Radical din număr negativ. √(−4) nu există în mulțimea numerelor reale.

7. Numitorul lăsat cu radical, când cerința cere forma cea mai simplă.

8. Conjugata greșită. Conjugata lui √3 − 1 este √3 + 1. Se schimbă doar semnul dintre termeni.

Ce se cere la Evaluarea Națională?

Radicalii apar de regulă într-un exercițiu de calcul de la subiectul I și, indirect, în toată geometria: teorema lui Pitagora, diagonala pătratului, înălțimea triunghiului echilateral, ariile și volumele produc rezultate ca 5√2 sau 3√3. Un elev care scoate factorii fără ezitare câștigă timp la jumătate din subiect.

Cum le înveți?

• învață pătratele perfecte până la 20² și descompunerile uzuale: 8 = 4 · 2, 12 = 4 · 3, 18 = 9 · 2, 20 = 4 · 5, 27 = 9 · 3, 32 = 16 · 2, 45 = 9 · 5, 48 = 16 · 3, 50 = 25 · 2, 75 = 25 · 3;

• lucrează 20 de scoateri de factori, până devin automate;

• tratează radicalul ca pe o literă. 2√3 + 5√3 se adună la fel ca 2x + 5x;

• verifică prin aproximare. √12 + √27 este aproximativ 3,46 + 5,20 = 8,66, iar 5√3 este aproximativ 8,66.

Despre cât timp merită să lucrezi fără întrerupere am scris în articolul despre durata optimă de învățat fără pauză.

Dacă radicalii se încurcă în calculele de geometrie, un profesor îți poate arăta pașii pe problemele tale. Pe pagina de meditații la matematică vezi anunțurile profesorilor, cu preț și durată, iar pe cea de meditații pentru Evaluarea Națională compari profilurile. Pe Hola25 poți rezerva o lecție de probă de 25 sau 50 de minute, cu prețul afișat înainte de plată. Lecția are loc în sala de lecții Hola25, pe o tablă comună. Anunțurile sunt publicate de profesori, iar platforma nu le verifică studiile sau experiența declarată.

Întrebări frecvente

Cum scot factorii de sub radical?

Scrii numărul ca produs dintre un pătrat perfect și alt număr, apoi extragi radicalul din pătratul perfect. De exemplu, √50 = √(25 · 2) = 5√2.

Pot aduna √2 cu √3?

Nu se pot restrânge. Se adună doar radicalii asemenea, de exemplu 2√3 + 5√3 = 7√3.

Ce înseamnă raționalizarea numitorului?

Transformarea unei fracții astfel încât la numitor să nu mai fie radical. De exemplu, 1 / √2 = √2 / 2.

Cât este radical din a la pătrat?

Modulul lui a. Pentru a pozitiv este a, iar pentru a negativ este −a. De exemplu, √((−3)²) = 3.

În ce clasă se învață radicalii?

În clasa a VII-a. Se folosesc apoi la Evaluarea Națională, în tot calculul cu numere reale și în geometrie.