Young: coincidențe pentru două lungimi de undă BAC

Când dispozitivul Young este iluminat cu două radiații monocromatice, fiecare lungime de undă produce propriul sistem de franje. Unele maxime pot ocupa aceeași poziție pe ecran. Pentru a găsi coincidențele, compari ordinele întregi ale celor două sisteme, nu aduni lungimile de undă și nu calculezi o interfranjă „medie”.

Lecția aparține modulului Optică, interferența luminii, pentru profilurile real și militar din programa oficială consultată. Interferența Young nu este inclusă în secțiunea de optică a profilului tehnologic din acel document. Folosim fante iluminate în fază pentru fiecare radiație, ecran îndepărtat și poziții apropiate de axă, unde aproximația unghiurilor mici este potrivită.

Două sisteme de franje independente

Pentru prima lungime de undă, poziția maximului de ordin m este y₁ = mλ₁D/d. Pentru a doua, y₂ = nλ₂D/d. D este distanța perpendiculară până la ecran, iar d este separarea fantelor.

Fiecare radiație trebuie să producă interferență stabilă între cele două fante. Cele două culori nu trebuie considerate coerente una cu cealaltă pentru această analiză. În observația obișnuită, intensitățile celor două sisteme se adună, fără un termen stabil de interferență între frecvențe diferite.

De aceea, „coincidență” înseamnă că un maxim al primei radiații și un maxim al celei de-a doua se află în același loc. Nu înseamnă că două culori diferite au devenit o singură undă monocromatică.

Condiția maxim–maxim

Egalăm pozițiile: mλ₁D/d = nλ₂D/d. Factorul geometric comun se simplifică și obținem mλ₁ = nλ₂. Pentru prima coincidență laterală, căutăm cele mai mici numere întregi pozitive m și n care satisfac relația.

Maximul central corespunde lui m = n = 0 și este comun în ipoteza fantelor în fază. Dacă enunțul cere „prima coincidență în afara centrului”, soluția zero trebuie exclusă explicit.

Dacă raportul lungimilor de undă este scris ireductibil λ₂/λ₁ = a/b, atunci m = a și n = b dau prima coincidență pozitivă. Următoarele coincid la multipli întregi ai acestor ordine, în regiunea unde modelul este aplicabil.

Exemplu complet: 450 nm și 600 nm

Avem λ₁ = 450 nm, λ₂ = 600 nm, D = 1,5 m și d = 0,5 mm. Condiția devine 450m = 600n, adică 3m = 4n. Cele mai mici ordine pozitive sunt m = 4 și n = 3.

Diferența de drum comună este 4 × 450 = 3 × 600 = 1800 nm. Interfranja primei radiații este 450 × 10⁻⁹ × 1,5/(0,5 × 10⁻³) = 1,35 mm. A doua are interfranja 1,8 mm.

Poziția primei coincidențe este 4 × 1,35 = 5,4 mm, identică cu 3 × 1,8 mm. Există o coincidență simetrică la −5,4 mm. Următoarele sunt la ±10,8 mm, ±16,2 mm și așa mai departe, atât timp cât ecranul și aproximațiile permit observarea.

Verificarea ordinului de mărime arată y/D = 0,0054/1,5 = 0,0036, suficient de mic pentru aproximația locală folosită. Nu presupunem automat că orice ordin foarte mare păstrează interfranja constantă.

Cum numeri coincidențele pe un interval

Pentru exemplul anterior, un ecran acoperă pozițiile de la −12 mm la +12 mm. Coincidențele maxime sunt la −10,8, −5,4, 0, +5,4 și +10,8 mm. Sunt cinci poziții, dacă includem centrul.

Dacă cerința exclude maximul central, rămân patru. Dacă intervalul ar fi numai de la zero la +12 mm și ar include capetele, ar exista trei poziții comune. Citește sensul intervalului și condiția despre centru înainte să numeri.

Nu număra toate maximele fiecărei culori. Majoritatea nu coincid. De exemplu, maximul întâi al radiației de 450 nm se află la 1,35 mm, unde a doua radiație nu are maxim de ordin întreg.

Coincidența unui maxim cu un minim

Pentru un maxim al primei radiații, diferența de drum este mλ₁. Pentru un minim al celei de-a doua, este (n + 1/2)λ₂, cu n întreg nenegativ pe partea pozitivă. Condiția este mλ₁ = (n + 1/2)λ₂.

Luăm λ₁ = 500 nm și λ₂ = 600 nm. Pentru m = 3, diferența de drum este 1500 nm. Aceasta este 2,5 × 600 nm, deci corespunde unui minim al celei de-a doua radiații, cu n = 2.

Punctul nu este complet întunecat în iluminarea cu ambele radiații: prima are acolo un maxim. Un minim al unei componente nu anulează automat lumina celeilalte. Această interpretare contează când enunțul întreabă despre intensitatea observată, nu doar despre poziții.

Pot coincide și două minime?

Condiția este (m + 1/2)λ₁ = (n + 1/2)λ₂. Înmulțind cu doi, obținem (2m + 1)λ₁ = (2n + 1)λ₂. Ordinele care apar aici sunt numere impare, ceea ce poate exclude anumite raporturi.

Pentru λ₁ = 400 nm și λ₂ = 600 nm, relația devine 2(2m + 1) = 3(2n + 1). Membrul stâng este par, iar cel drept este impar. Nu există soluție întreagă, deci nu există coincidențe exacte minim–minim în acest model.

Chiar și când pozițiile minimelor coincid, întunericul complet al fiecărui sistem cere condiții suplimentare, precum amplitudini egale ale contribuțiilor prin cele două fante. Poziția de fază și contrastul franjelor sunt informații diferite.

Problema inversă: lungime de undă necunoscută

Maximul de ordin cinci al unei radiații de 480 nm coincide cu maximul de ordin patru al unei radiații necunoscute. Din 5 × 480 = 4λ₂ rezultă λ₂ = 600 nm.

Nu inversa ordinele: fiecare ordin trebuie păstrat lângă lungimea de undă a propriului sistem. Radiația cu lungime de undă mai mare are interfranja mai mare și are nevoie de un ordin mai mic pentru a ajunge la aceeași poziție. Această comparație verifică rezultatul.

Dacă enunțul nu spune că este prima coincidență, perechea de ordine poate fi un multiplu al perechii minime. Relația rămâne corectă, dar nu deduci automat că numerele date sunt cele mai mici posibile.

Exerciții cu soluții

Exercițiul 1. λ₁ = 400 nm și λ₂ = 500 nm. Care sunt ordinele primei coincidențe laterale?

Condiția 4m = 5n dă m = 5 și n = 4. Diferența de drum comună este 2000 nm. Centrul nu este inclus în această cerință.

Exercițiul 2. Interfranjele sunt 1,2 mm și 1,8 mm. Unde este prima coincidență pozitivă?

Căutăm multipli egali: 3 × 1,2 = 2 × 1,8 = 3,6 mm. Ordinele sunt trei și doi. Nu folosim media de 1,5 mm.

Exercițiul 3. Maximul de ordin șase pentru 500 nm coincide cu ordinul cinci al altei radiații. Determină lungimea necunoscută.

λ₂ = 6 × 500/5 = 600 nm. Perechea șase și cinci este deja ireductibilă, deci descrie prima coincidență laterală pentru aceste valori.

Exercițiul 4. Un maxim al unei culori coincide cu un minim al celeilalte. Este punctul obligatoriu întunecat?

Nu. Componenta aflată la maxim contribuie cu lumină. Intensitățile observate se adună în condițiile analizate.

Recapitulare pentru examen

Scrie întâi tipul coincidenței și apoi condițiile fiecărui sistem. Aplică metoda pe subiectele de BAC corespunzătoare modulului ales. Explicarea ordinelor întregi susține înțelegerea interferenței. Un profesor de fizică poate verifica numărarea și condițiile de profil.

Întrebări frecvente

Se formează o singură interfranjă medie?

Nu. Fiecare lungime de undă are propriul sistem. Coincidențele se găsesc prin egalarea pozițiilor.

Maximul central este comun?

Da, pentru cele două sisteme cu fante iluminate în fază și diferență geometrică de drum zero în centru.

O coincidență de două maxime înseamnă lumină albă?

Nu automat. Aspectul depinde de spectrul și intensitățile componentelor. Două lungimi de undă nu trebuie numite arbitrar lumină albă.

Surse

Delimitarea profilurilor urmează programa oficială. Condițiile Young sunt verificate în OpenStax, experimentul cu două fante. Coincidențele și exemplele sunt deduse original.