Două fire oblice: echilibru și tensiuni la BAC

Un corp suspendat prin două fire oblice nu este susținut prin simpla împărțire a greutății la doi. Fiecare tensiune are o componentă verticală care contribuie la susținere și o componentă orizontală care trebuie compensată de cealaltă tensiune. Unghiurile firelor stabilesc cât de mari trebuie să fie aceste forțe.

Lecția este o aplicație a principiilor dinamicii în condiții de echilibru, din modulul Mecanică, pentru profilurile real, militar și tehnologic. Modelăm nodul sau corpul mic ca punct material, fără analiză de rotație. Firele sunt ideale, întinse, iar configurația este statică. Aceste ipoteze sunt suficiente pentru ecuațiile pe două axe și pot fi comparate cu subiectele și baremele de BAC.

Diagrama unui nod în echilibru

Considerăm un corp cu greutatea G, legat de două fire care urcă spre stânga și spre dreapta. Tensiunea fiecărui fir este orientată de-a lungul lui, dinspre corp către punctul de prindere. Firul poate trage corpul, dar nu îl poate împinge.

Alegem axa orizontală pozitivă spre dreapta și axa verticală pozitivă în sus. Notăm cu α unghiul firului din stânga față de orizontală și cu β unghiul celui din dreapta față de orizontală. Unghiurile sunt cuprinse între zero și un unghi drept în configurația obișnuită de susținere.

Pentru tensiunea T₁ din stânga, componenta orizontală este −T₁ cos α, iar cea verticală T₁ sin α. Pentru tensiunea T₂ din dreapta, componentele sunt T₂ cos β și T₂ sin β. Greutatea are numai componentă verticală negativă, −G.

Cele două ecuații de echilibru

Accelerația fiind zero, rezultanta este nulă pe fiecare axă. Pe orizontală scriem T₁ cos α = T₂ cos β. Pe verticală scriem T₁ sin α + T₂ sin β = G. Acestea sunt două ecuații cu două necunoscute, dacă greutatea și unghiurile sunt cunoscute.

Prima ecuație nu spune că tensiunile sunt egale. Ea spune că sunt egale componentele lor orizontale. Tensiunile devin egale în configurația simetrică, unde și unghiurile sunt egale. Într-un montaj asimetric, valorile diferă în general.

Pas	Ce stabilești	De ce este necesar
Alegerea corpului	Nodul sau corpul suspendat	Evită amestecarea forțelor din alte locuri
Unghiurile	Față de orizontală sau verticală	Stabilește sinusul și cosinusul corect
Proiecția orizontală	Componente egale și opuse	Împiedică accelerația laterală
Proiecția verticală	Suma componentelor egală cu greutatea	Împiedică accelerația verticală

Dacă unghiul din enunț este măsurat față de verticală, rolurile sinusului și cosinusului se schimbă. Nu modifica doar simbolul unghiului într-o formulă preluată din alt desen; reconstruiește triunghiul componentelor.

Cazul simetric

Dacă α = β, tensiunile au același modul T. Componentele orizontale se anulează automat, iar ecuația verticală devine 2T sin α = G. Rezultă T = G/(2 sin α), pentru unghiul măsurat față de orizontală.

Un corp cu greutatea de 100 N este suspendat prin două fire care formează fiecare 30° cu orizontala. Sinusul este 0,5, deci T = 100 N în fiecare fir. Suma modulelor tensiunilor este 200 N, însă suma componentelor verticale este 100 N. Nu există contradicție: vectorii nu sunt coliniari vertical.

Dacă unghiul devine 60°, fiecare tensiune este aproximativ 57,7 N. Firele mai apropiate de verticală folosesc o parte mai mare din tensiune pentru susținerea greutății. În limita în care cele două fire devin verticale și împart simetric sarcina, fiecare suportă jumătate din greutate.

De ce tensiunea crește pentru fire aproape orizontale

Când α este mic, sin α este mic. Pentru a produce aceeași componentă verticală, tensiunea trebuie să fie mare. Un fir aproape orizontal nu susține eficient o greutate printr-o tensiune mică, chiar dacă desenul pare „întins bine”.

La α = 0, formula ar cere împărțire la zero. Interpretarea fizică este că două forțe strict orizontale nu pot echilibra o greutate verticală nenulă. Configurația nu reprezintă un echilibru posibil cu tensiuni finite în modelul dat.

Aceasta este o verificare de limită utilă, nu o instrucțiune de proiectare a unei suspensii. Problemele școlare nu includ rezistența reală a materialelor, nodurile sau coeficienții de siguranță ai instalațiilor.

Exemplu asimetric rezolvat

Un corp de 5 kg este susținut de două fire. Pentru firul din stânga, sin α = 0,6 și cos α = 0,8. Pentru cel din dreapta, sin β = 0,8 și cos β = 0,6. Se ia g = 10 m/s². Determină tensiunile.

Greutatea este 50 N. Ecuația orizontală dă 0,8T₁ = 0,6T₂, deci T₂ = 4T₁/3. În ecuația verticală înlocuim: 0,6T₁ + 0,8 × 4T₁/3 = 50. Coeficientul total al lui T₁ este 5/3, de unde T₁ = 30 N și T₂ = 40 N.

Verificăm separat componentele. Pe orizontală, ambele au modulul 24 N și sensuri opuse. Pe verticală, prima contribuție este 18 N, iar a doua 32 N; suma este 50 N. Ambele condiții sunt satisfăcute.

Firul mai apropiat de verticală are în acest exemplu tensiunea mai mare, dar concluzia trebuie legată de geometria dată. Nu înlocui ecuațiile cu o regulă verbală generală despre „firul mai înclinat”, mai ales când sensul înclinării nu este precizat clar.

Formule generale și verificarea lor

Dacă dorești o expresie generală, eliminarea unei necunoscute conduce la T₁ = G cos β/sin(α + β) și T₂ = G cos α/sin(α + β), pentru configurația descrisă. Relațiile rezultă din ecuațiile pe axe și din formula sinusului unei sume.

Nu este necesar să le memorezi pentru a rezolva problema. Sistemul cu două ecuații este adesea mai ușor de verificat și mai puțin vulnerabil la schimbarea convenției de unghi. Dacă alegi formulele compacte, controlează cazul simetric: sin(2α) = 2 sin α cos α și obții T = G/(2 sin α).

Un rezultat negativ pentru o tensiune, într-o configurație presupusă cu fire întinse, indică o geometrie sau o alegere de sens incompatibilă cu ipoteza. Un fir nu poate realiza o forță de compresiune. Într-o problemă mai generală, ar putea deveni slab, caz în care modelul trebuie schimbat.

Exerciții cu soluții

Exercițiul 1. Două fire simetrice susțin o greutate de 80 N și fac fiecare un unghi cu orizontala având sinusul 0,8. Află tensiunea din fiecare.

Soluție: T = 80/(2 × 0,8) = 50 N. Fiecare componentă verticală este 40 N.

Exercițiul 2. Într-un sistem simetric, fiecare tensiune este 60 N, iar greutatea este 60 N. Ce valoare are sinusul unghiului față de orizontală?

Soluție: din 2T sin α = G rezultă sin α = 0,5. Pentru un unghi ascuțit, α = 30°.

Exercițiul 3. Un elev scrie T₁ + T₂ = G pentru două fire oblice. Ce lipsește?

Soluție: proiecțiile verticale. Corect este T₁ sin α + T₂ sin β = G dacă unghiurile sunt măsurate față de orizontală. Mai este necesară ecuația componentelor orizontale.

Întrebări frecvente

Forțele egale se anulează întotdeauna?

Nu. Pentru anulare trebuie să fie egale în modul, coliniare și de sensuri opuse. Două tensiuni oblice egale pot avea o rezultantă verticală nenulă.

Pot folosi teorema lui Pitagora pentru orice două tensiuni?

Numai dacă vectorii considerați sunt perpendiculari. În configurația generală trebuie să folosești componentele sau relațiile vectoriale potrivite unghiului dintre ei.

Aceleași ecuații sunt suficiente pentru o bară lungă?

Nu întotdeauna. O bară rigidă poate necesita și echilibrul momentelor. Lecția de aici modelează corpul sau nodul ca punct material și nu acoperă acea extensie.

Construirea componentelor este o metodă de învățare prin înțelegere. Un profesor de fizică poate verifica desenul inițial, care decide corectitudinea întregului sistem de ecuații.

Sursa curriculară

Echilibrul rezultantei și tensiunea în fir sunt aplicații ale principiilor mecanicii newtoniene din programa oficială de fizică. Referința este documentul istoric verificat, fără atribuirea unui statut anual nou.