Resorturi în serie și paralel: probleme pentru BAC

Două resorturi pot forma un sistem mai moale sau mai rigid decât fiecare resort separat, în funcție de modul în care sunt legate. Pentru a afla constanta elastică echivalentă, nu este suficient să reții două formule. Trebuie să identifici ce mărime este comună: forța în legarea în serie sau alungirea în legarea în paralel.

Articolul este o aplicație a legii lui Hooke din modulul Mecanică, utilă profilurilor real, militar și tehnologic. Programa oficială consultată enumeră legea lui Hooke; grupările sunt tratate aici ca exerciții derivate din această lege, nu ca un capitol distinct obligatoriu pentru orice variantă anuală. Presupunem resorturi ideale, de masă neglijabilă, deformări în domeniul elastic și echilibru. Completează studiul prin subiecte și bareme de BAC.

Constanta elastică și alungirea

Pentru un resort liniar, modulul forței elastice este kx, unde k este constanta elastică, iar x este alungirea față de lungimea naturală. Constanta se măsoară în N/m. O valoare mai mare a lui k înseamnă că este necesară o forță mai mare pentru aceeași alungire.

Alungirea nu este lungimea totală. Dacă un resort de 20 cm ajunge la 23 cm, alungirea este 3 cm, adică 0,03 m. Înlocuirea lungimii totale în legea lui Hooke ar atribui o forță unui resort chiar și în starea sa naturală.

Pentru un sistem echivalent definim K prin relația F = Kx, în care F este forța exterioară aplicată sistemului, iar x este deplasarea totală corespunzătoare. Alegerea acestor două mărimi trebuie făcută consecvent pentru întreaga grupare.

Legarea în serie

Două resorturi sunt în serie dacă sunt legate cap la cap, iar forța se transmite succesiv prin ele. În echilibru, cu legătura intermediară de masă neglijabilă, modulul forței este același în ambele: F = k₁x₁ = k₂x₂.

Alungirea totală este suma alungirilor: x = x₁ + x₂. Înlocuind fiecare alungire cu raportul F/k, obținem x = F/k₁ + F/k₂. Compararea cu x = F/K conduce la 1/K = 1/k₁ + 1/k₂. Pentru două resorturi, K = k₁k₂/(k₁ + k₂).

Rezultatul trebuie să fie mai mic decât fiecare constantă individuală. Sistemul se alungește mai mult la aceeași forță deoarece ambele resorturi contribuie la deplasarea totală. Dacă ai adunat constantele pentru o legare cap la cap, controlul fizic arată imediat eroarea.

Exemplu numeric în serie

Considerăm k₁ = 100 N/m și k₂ = 300 N/m. Sistemul este solicitat cu o forță de 6 N. Primul resort se alungește cu 6/100 = 0,06 m, iar al doilea cu 6/300 = 0,02 m. Alungirea totală este 0,08 m.

Constanta echivalentă este 100 × 300/(100 + 300) = 75 N/m. Verificarea F = Kx dă 75 × 0,08 = 6 N. Resortul mai moale are alungirea mai mare, deși forța transmisă prin cele două este aceeași.

Raportul alungirilor este inversul raportului constantelor: x₁/x₂ = k₂/k₁ = 3. Nu împărți alungirea totală în jumătăți decât dacă resorturile sunt identice. Egalitatea forțelor nu implică egalitatea deformărilor.

Legarea în paralel

Două resorturi sunt în paralel în modelul de aici dacă au capetele fixe la același suport și celelalte capete legate de o bară rigidă care se deplasează fără rotație. Resorturile au aceeași alungire x, iar forța totală este suma forțelor exercitate de ele.

Scriem F = F₁ + F₂ = k₁x + k₂x. Rezultă K = k₁ + k₂. Sistemul este mai rigid deoarece cele două resorturi susțin împreună sarcina pentru aceeași deplasare.

Condiția de alungiri egale trebuie justificată geometric. Două resorturi desenate unul lângă altul nu sunt automat echivalente cu acest model dacă au lungimi inițiale diferite, predeformări diferite sau o bară care se poate înclina. Enunțul și schema stabilesc condițiile reale ale exercițiului.

Exemplu numeric în paralel

Folosim aceleași constante, 100 N/m și 300 N/m, și aceeași forță totală de 6 N. Constanta echivalentă este 400 N/m. Alungirea comună este 6/400 = 0,015 m, adică 1,5 cm.

Primul resort exercită 100 × 0,015 = 1,5 N, iar al doilea 300 × 0,015 = 4,5 N. Suma este 6 N. Resortul mai rigid preia o parte mai mare din forța totală, deoarece ambele au aceeași alungire.

Observă diferența față de legarea în serie: aici alungirile sunt egale și forțele diferă; în serie, forțele sunt egale și alungirile diferă. Această comparație este mai sigură decât o asociere mecanică între cuvintele „serie” și „paralel”.

Grupare	Mărime comună	Mărime care se adună	Constanta echivalentă
Serie	Forța	Alungirile	Inversele constantelor se adună
Paralel	Alungirea	Forțele	Constantele se adună
Două identice în serie	Forța	Alungirile egale	k/2
Două identice în paralel	Alungirea	Forțele egale	2k

Grupare mixtă, rezolvată în etape

Două resorturi de câte 200 N/m sunt legate în paralel. Gruparea lor este apoi legată în serie cu un resort de 100 N/m. Determină constanta echivalentă și alungirea totală sub o forță de 8 N.

Mai întâi reducem gruparea paralelă: Kp = 400 N/m. Apoi folosim formula de serie între Kp și 100 N/m: K = 400 × 100/(400 + 100) = 80 N/m. Alungirea totală este 8/80 = 0,1 m.

Resortul de 100 N/m se alungește cu 0,08 m. Gruparea paralelă se alungește cu 8/400 = 0,02 m, deci fiecare dintre cele două resorturi paralele are alungirea de 0,02 m. Fiecare preia 4 N, iar împreună transmit cei 8 N ai ramurii în serie.

O eroare frecventă este adunarea tuturor celor trei constante, ignorând topologia legăturilor. Redesenarea grupării după fiecare reducere păstrează clar ce elemente au într-adevăr aceeași forță sau aceeași deplasare.

Sarcină suspendată și echilibru

Dacă la capătul grupării este suspendată în repaus o masă m, forța exterioară este mg. Alungirea statică totală este mg/K. Pentru o masă de 0,5 kg și K = 100 N/m, cu g = 10 m/s², alungirea este 0,05 m.

Aceasta este o alungire de echilibru. Dacă masa este eliberată brusc când resorturile sunt nedeformate, poate trece prin poziția de echilibru și poate ajunge la o deformare maximă diferită. Nu aplica echilibrul static în punctul de întoarcere doar pentru că viteza este momentan zero.

De asemenea, masa resorturilor a fost neglijată. Dacă enunțul cere efectul propriei greutăți a unui resort, forța poate varia de-a lungul său și modelul simplu trebuie ajustat. Nu introduce această complicație într-o problemă care precizează resorturi ideale.

Exerciții și soluții

Exercițiul 1. Două resorturi identice de 120 N/m sunt în serie. Ce forță produce o alungire totală de 4 cm?

Soluție: K = 60 N/m, x = 0,04 m, deci F = 2,4 N. Fiecare resort se alungește cu 2 cm.

Exercițiul 2. Două resorturi de 80 N/m și 120 N/m sunt în paralel. Alungirea comună este 3 cm. Află forța totală și contribuțiile.

Soluție: forțele sunt 2,4 N și 3,6 N, iar totalul este 6 N. Constanta echivalentă este 200 N/m.

Exercițiul 3. Pentru două resorturi pozitive în serie ai obținut o constantă echivalentă mai mare decât ambele. Poate fi corect?

Soluție: nu în modelul ideal descris. Verifică dacă ai adunat constantele în loc să aduni inversele lor sau dacă ai confundat configurația.

Întrebări frecvente

Pot aplica formulele și la comprimare?

Da, pentru resorturi liniare care pot lucra în compresie în montajul descris, folosind consecvent semnele și condițiile geometrice. Contactul sau flambajul nu sunt incluse în modelul ideal.

De ce în serie nu împart forța la două?

Aceeași forță se transmite succesiv prin elementele fără masă aflate în echilibru. Împărțirea forței apare la ramuri paralele, în funcție de rigiditățile lor.

Constanta echivalentă depinde de forță?

Nu în domeniul liniar al legii lui Hooke. Dacă deformările depășesc acest domeniu, modelul cu o constantă fixă poate înceta să fie valabil.

Explicarea mărimii comune este un exercițiu de înțelegere a structurii problemei. Pentru grupări mixte, un profesor de fizică poate verifica schema înaintea calculelor.

Sursa curriculară

Legea lui Hooke este inclusă în programa oficială de fizică, modulul Mecanică. Grupările sunt aplicații originale ale legii, fără afirmația că fiecare configurație apare obligatoriu în orice variantă de examen.