Mașina Atwood: două mase și un scripete la BAC

Două corpuri legate printr-un fir trecut peste un scripete fix pot accelera împreună, chiar dacă firul este ideal și tensiunea are același modul pe cele două ramuri. Cheia problemei este că fiecare corp are propria ecuație de mișcare. Tensiunea nu este, în general, egală cu greutatea niciunuia dintre corpuri.

Lecția tratează un model de tip mașina Atwood, în modulul Mecanică, pentru profilurile real, militar și tehnologic din programa oficială consultată. Folosim un fir inextensibil, de masă neglijabilă, un scripete fără masă și fără frecare în ax, cu firul menținut întins. Nu este aceeași problemă cu ridicarea uniformă printr-un scripete mobil. Pentru exersarea ecuațiilor pe corpuri poți folosi subiectele și baremele de BAC.

Ce spun ipotezele ideale

Firul inextensibil impune ca deplasările celor două corpuri să aibă module egale, în sensuri opuse. Același lucru este valabil pentru viteze și accelerații, cât timp firul rămâne întins. Nu presupunem că vectorii accelerație sunt identici: unul poate fi orientat în jos, iar celălalt în sus.

Masa neglijabilă a firului și scripetele ideal permit folosirea aceluiași modul T al tensiunii pe ambele ramuri. Dacă scripetele ar avea inerție de rotație relevantă, tensiunile ar putea fi diferite. Această extensie nu este necesară modelului de aici și nu trebuie introdusă fără date în enunț.

Cele două corpuri nu formează o singură masă aflată pe aceeași verticală și trasă direct de o forță oarecare. Legătura lor se exprimă prin condiția cinematică, apoi ecuațiile pot fi adunate pentru eliminarea tensiunii.

Alegerea sensurilor pozitive

Notăm masele cu m₁ și m₂ și presupunem m₂ > m₁. Corpul al doilea va accelera în jos, iar primul în sus. Alegem pentru fiecare corp sensul pozitiv în direcția accelerației presupuse. Putem utiliza astfel aceeași necunoscută scalară a, pozitivă dacă presupunerea este corectă.

Pentru corpul ușor: T − m₁g = m₁a. Tensiunea este în sus, greutatea în jos. Pentru corpul greu: m₂g − T = m₂a. Greutatea este acum în sensul pozitiv ales, iar tensiunea în sens opus.

Corp izolat	Sens pozitiv	Ecuație
Masa m₁	În sus	T − m₁g = m₁a
Masa m₂	În jos	m₂g − T = m₂a
Relație impusă de fir	Module egale	a₁ și a₂ au același modul

Dacă preferi o singură axă verticală orientată în sus pentru ambele corpuri, poți proceda și așa. Atunci accelerațiile au semne opuse în ecuații. Important este să nu combini cele două convenții la jumătatea calculului.

Accelerația sistemului

Adunând ecuațiile scrise în sensurile proprii, tensiunile se elimină. Obținem (m₂ − m₁)g = (m₁ + m₂)a. Prin urmare, accelerația are modulul a = (m₂ − m₁)g/(m₁ + m₂), pentru ordinea maselor presupusă.

Numărătorul conține diferența maselor deoarece cele două greutăți au efecte opuse asupra mișcării impuse de fir. Numitorul conține suma maselor deoarece ambele corpuri trebuie accelerate. Formula nu se deduce prin scăderea maselor în ambele locuri.

Pentru mase pozitive și diferite, accelerația este mai mică decât g. Corpul greu nu cade liber: tensiunea reduce rezultanta în jos. Dacă obții o accelerație mai mare decât g în acest model, verifică semnele și numitorul.

Tensiunea: două metode de control

După calculul accelerației, prima ecuație dă T = m₁(g + a), iar a doua dă T = m₂(g − a). Cele două expresii trebuie să conducă la același rezultat. Aceasta este o verificare utilă, fiindcă testează simultan alegerea semnelor și valoarea accelerației.

Prin înlocuirea expresiei lui a se poate obține T = 2m₁m₂g/(m₁ + m₂). Formula compactă este corectă în ipotezele precizate, dar la examen este adesea mai clar să arăți ecuația corpului din care ai determinat tensiunea.

Când m₂ > m₁, tensiunea este mai mare decât greutatea corpului ușor și mai mică decât greutatea corpului greu. Astfel primul poate accelera în sus, iar al doilea în jos. O tensiune mai mică decât ambele greutăți ar fi incompatibilă cu accelerația ascendentă a corpului ușor.

Problemă rezolvată complet

Masele sunt m₁ = 2 kg și m₂ = 3 kg. Corpurile pornesc din repaus, iar g = 10 m/s². Determină accelerația, tensiunea, viteza după o secundă și distanța parcursă în acest timp, presupunând că niciun corp nu întâlnește un obstacol.

Accelerația este (3 − 2) × 10/(2 + 3) = 2 m/s². Tensiunea, calculată pentru corpul ușor, este 2(10 + 2) = 24 N. Pentru corpul greu, 3(10 − 2) = 24 N, deci verificarea reușește.

După o secundă, modulul vitezei este 2 m/s. Fiecare corp a parcurs o distanță de 1 m, deoarece s = at²/2. Unul s-a ridicat cu un metru, celălalt a coborât cu un metru. Distanța dintre ele, dacă sunt inițial la aceeași înălțime, devine doi metri.

Forța exercitată de fir asupra scripetelui are două componente verticale în jos, fiecare de modul T. Pentru ramuri paralele verticale, rezultanta lor este 2T = 48 N. Aceasta nu este tensiunea într-o singură ramură. Dacă se cere reacțiunea suportului și scripetele este fără masă, ea are același modul în sus.

Mase egale și viteza inițială

Dacă m₁ = m₂, accelerația este zero și tensiunea este egală cu greutatea fiecărui corp. Corpurile aflate inițial în repaus rămân în repaus. Dacă au deja viteze compatibile cu firul, ele pot continua uniform în modelul fără frecare, până când apare o limitare geometrică.

Prin urmare, „mase egale” nu înseamnă obligatoriu „viteze zero”. Ecuațiile dinamicii determină accelerația. Starea de mișcare rezultă și din condițiile inițiale. Aceeași distincție trebuie păstrată atunci când corpul greu este lansat inițial în sus: accelerația sa rămâne în jos, dar viteza se poate anula abia după un interval.

Limita geometrică a rezolvării

Ecuațiile modelului sunt valabile cât timp firul este întins și cele două corpuri se pot deplasa liber. Dacă unul ajunge pe podea, tensiunea și legătura cinematică se pot schimba. Nu continua automat aceeași accelerație după impact.

În problema numerică, dacă masa grea se află inițial la numai 0,25 m de podea, timpul până la contact este 0,5 s. Valoarea obținută pentru o secundă nu mai descrie sistemul real pe întregul interval. Înainte de a aplica formula poziției, compară deplasarea calculată cu distanțele disponibile.

Exerciții cu soluții

Exercițiul 1. Masele sunt 1 kg și 4 kg, iar g = 10 m/s². Află accelerația și tensiunea.

Soluție: a = 3 × 10/5 = 6 m/s². T = 1(10 + 6) = 16 N. Verificarea cu corpul greu dă 4(10 − 6) = 16 N.

Exercițiul 2. Două mase egale de 2 kg sunt legate prin sistemul ideal și se află în repaus. Cât este tensiunea?

Soluție: accelerația este zero, iar tensiunea este 20 N. Suma greutăților nu este tensiunea unei ramuri.

Exercițiul 3. Într-o rezolvare pentru mase de 2 kg și 3 kg apare T = 30 N. Este compatibil cu accelerația de 2 m/s²?

Soluție: nu. Pentru corpul de 3 kg, greutatea și tensiunea s-ar compensa, deci accelerația sa ar fi zero. Valoarea corectă pentru datele respective este 24 N.

Întrebări frecvente

De ce nu folosesc T = mg pentru fiecare corp?

Egalitatea este valabilă pentru accelerație verticală zero. Aici fiecare corp are, în general, o accelerație nenulă și o rezultantă diferită de zero.

Tensiunile egale se anulează pe fiecare corp?

Nu. Asupra fiecărui corp acționează o singură tensiune a firului. Eliminarea lor apare când combini ecuațiile sistemului, nu în diagrama individuală.

Pot afla tensiunea înaintea accelerației?

Poți rezolva sistemul simultan, dar eliminarea tensiunii pentru a afla mai întâi accelerația este de obicei cea mai scurtă cale.

Refacerea celor două diagrame ajută la înțelegerea ecuațiilor, dincolo de memorarea formulei. Dacă semnele rămân neclare, un profesor de fizică poate verifica separat fiecare corp.

Sursa curriculară

Modelul aplică principiile dinamicii și tensiunea în fir din programa oficială de fizică. Este folosit documentul istoric verificat, fără afirmații despre adoptarea unei noi programe anuale.