Planul înclinat cu frecare: urcare și coborâre BAC

Pe un plan înclinat, greutatea rămâne verticală, dar mișcarea se desfășoară de-a lungul pantei. Rezolvarea începe prin descompunerea greutății pe direcțiile paralelă și perpendiculară pe plan. Apoi stabilești sensul frecării din sensul alunecării, nu dintr-o formulă memorată separat pentru „urcare” și „coborâre”.

Lecția se încadrează în modulul Mecanică, pentru profilurile real, militar și tehnologic din programa oficială consultată. Presupunem un corp care alunecă, un plan fix, un coeficient de frecare constant și un câmp gravitațional uniform. Situațiile de repaus se analizează separat, deoarece frecarea statică nu este automat egală cu frecarea la alunecare. Poți exersa metoda pe subiectele de BAC cu bareme.

Greutatea și reacțiunea normală

Notăm cu α unghiul planului față de orizontală. Componenta greutății paralelă cu planul este mg sin α și este orientată în josul pantei. Componenta perpendiculară este mg cos α și apasă corpul spre plan. Pentru un corp fără alte forțe perpendiculare și fără accelerație pe această direcție, normala este N = mg cos α.

Frecarea la alunecare are modulul μmg cos α. Ea este orientată în susul pantei la coborâre și în josul pantei la urcare. Greutatea nu își schimbă direcția când corpul se întoarce; numai frecarea își schimbă sensul odată cu alunecarea.

Situație	Componenta greutății	Frecarea
Corpul alunecă în jos	În josul pantei	În susul pantei
Corpul alunecă în sus	În josul pantei	În josul pantei
Corpul este oprit	În josul pantei	Se stabilește din echilibru și limita statică

Nu folosi mg sin α pentru normală. Un control rapid este cazul α = 0: planul devine orizontal, componenta tangențială trebuie să dispară, iar normala trebuie să fie mg. Pentru α apropiat de un unghi drept, apăsarea datorată greutății scade.

Coborârea: două forțe în sensuri opuse

Alegem axa pozitivă în josul planului. Când corpul alunecă în acest sens, ecuația este mg sin α − μmg cos α = ma. După simplificarea masei, accelerația este a = g(sin α − μ cos α).

Dacă expresia din paranteză este pozitivă, corpul coboară tot mai repede. Dacă este negativă, corpul care deja coboară încetinește. Nu concluziona că se mișcă automat în sus doar fiindcă accelerația a ieșit negativă; sensul vitezei poate rămâne încă în jos pentru un interval.

La egalitatea sin α = μ cos α, alunecarea descendentă este uniformă în modelul ales. Aceasta descrie un corp deja în mișcare și coeficientul de alunecare. Condiția de pornire din repaus cere coeficientul de frecare statică, dacă problema îl diferențiază.

Problemă rezolvată la coborâre

Un corp pornește din repaus și alunecă pe un plan pentru care sin α = 0,6 și cos α = 0,8. Coeficientul de frecare la alunecare este 0,25, g = 10 m/s², iar lungimea parcursă este 5 m. Enunțul precizează că alunecarea începe. Determină accelerația, timpul și viteza finală.

Accelerația este 10(0,6 − 0,25 × 0,8) = 4 m/s². Din relația s = at²/2 rezultă t² = 2 × 5/4 = 2,5 s², deci timpul este aproximativ 1,58 s. Viteza finală este at, aproximativ 6,32 m/s.

Controlul fără timp folosește v² = 2as = 40 m²/s² și produce aceeași viteză. Masa nu apare în rezultate deoarece atât componenta greutății, cât și frecarea sunt proporționale cu masa. Dacă enunțul ar introduce o tracțiune independentă de masă, această simplificare nu ar mai descrie întreaga problemă.

Pentru m = 2 kg, normala ar fi 16 N, iar frecarea 4 N. Componenta greutății pe plan ar fi 12 N. Rezultanta de 8 N împărțită la masa de 2 kg confirmă accelerația de 4 m/s².

Urcarea: greutatea și frecarea frânează împreună

Un corp este lansat în susul aceluiași plan și apoi lăsat liber. Alegem acum axa pozitivă în sus. Ambele forțe tangențiale sunt negative: −mg sin α − μmg cos α = ma. Accelerația este a = −g(sin α + μ cos α).

Cu aceleași valori, a = −8 m/s². Dacă viteza inițială este 8 m/s, timpul până la oprire este o secundă. Distanța urcată este v₀²/(2 × 8) = 4 m. Această distanță este măsurată de-a lungul planului; înălțimea câștigată este 4 × 0,6 = 2,4 m.

Observă că modulul accelerației la urcare este mai mare decât cel de la coborâre. La urcare, frecarea se adaugă componentei greutății ca efect de frânare. La coborâre, frecarea se opune componentei greutății. Nu poți folosi o singură accelerație constantă pentru întregul drum cu întoarcere.

Ce se întâmplă în punctul de oprire

La oprire, viteza este zero. Următoarea etapă depinde de posibilitatea frecării statice de a echilibra componenta greutății. Pentru repaus ar trebui să existe o frecare statică de modul mg sin α, cel mult egală cu μs mg cos α.

Dacă μs este mai mic decât tan α, repausul nu poate fi menținut și corpul începe să coboare. Dacă μs este cel puțin tan α, corpul poate rămâne oprit. În lipsa datelor despre frecarea statică sau a unei precizări că mobilul revine, nu inventa automat etapa descendentă.

În exemplul anterior, tan α = 0,75. Dacă μs = 0,3, corpul revine. La coborâre folosești din nou coeficientul de alunecare 0,25 și accelerația 4 m/s². De la repaus, pe distanța de 4 m, viteza la baza planului devine radical din 32, aproximativ 5,66 m/s, mai mică decât viteza inițială de 8 m/s.

Diferența este compatibilă cu disiparea de energie prin frecare în ambele sensuri. Frecarea nu „restituie” energia pierdută atunci când corpul coboară.

Forță paralelă cu planul

Dacă un corp urcă uniform tras cu o forță F paralelă cu planul, rezultanta tangențială este zero. Forța necesară este F = mg sin α + μmg cos α. Normala nu se modifică, deoarece tracțiunea este paralelă cu suprafața.

Pentru m = 2 kg și datele anterioare, F = 12 + 4 = 16 N. La coborâre uniformă, dacă greutatea tangențială depășește frecarea, o forță de reținere în sus ar avea modulul 12 − 4 = 8 N. Cele două situații cer forțe diferite, fiindcă frecarea își schimbă sensul.

Exerciții și răspunsuri

Exercițiul 1. Un corp de 3 kg alunecă pe un plan cu cos α = 0,8. Nu există alte forțe perpendiculare. Pentru g = 10 m/s², află normala.

Răspuns: N = 3 × 10 × 0,8 = 24 N. Masa înmulțită cu sinusul ar da componenta paralelă, nu normala.

Exercițiul 2. Un corp urcă liber cu v₀ = 6 m/s, iar accelerația pe axa orientată în sus este −3 m/s². Când se oprește și cât urcă?

Răspuns: se oprește după două secunde și parcurge 6 m. Ecuațiile se folosesc numai până la acel moment; etapa următoare cere analiză nouă.

Exercițiul 3. La coborâre, componenta greutății pe plan este 9 N, iar frecarea 12 N. Corpul se deplasează deja în jos. Ce se întâmplă?

Răspuns: rezultanta este în sus, deci mobilul încetinește până la oprire. Nu rezultă că viteza este deja orientată în sus.

Întrebări frecvente

De ce masa dispare din accelerația alunecării libere?

Toate forțele tangențiale din acest model sunt proporționale cu masa. După împărțirea ecuației la masă, accelerația depinde de unghi, coeficient și g.

Frecarea este întotdeauna în susul planului?

Nu. Ea se opune alunecării relative: este în sus la coborâre și în jos la urcare.

Pot folosi înălțimea în locul distanței pe plan?

Numai după transformarea geometrică h = s sin α. Ecuațiile cinematice pe axa planului folosesc distanța s de-a lungul acestuia.

Explică de fiecare dată sensurile înainte de a înlocui numerele. Aceasta este o formă de învățare prin înțelegere, iar un profesor de fizică poate verifica rapid dacă descompunerea greutății este corectă.

Sursa curriculară

Principiile dinamicii și frecarea sunt cuprinse în programa oficială de fizică, modulul Mecanică. Documentul consultat este o referință curriculară istorică; exemplele sunt originale și nu presupun un ordin nou pentru o sesiune viitoare.