Echilibrul consumatorului la BAC: probleme rezolvate

Echilibrul consumatorului la BAC descrie alegerea unui program de consum care maximizează utilitatea în condițiile unui buget și ale unor prețuri date. Nu alegi automat bunul cu utilitatea marginală cea mai mare: contează și cât costă obținerea acelui spor de satisfacție.

Lecția explică raportul dintre utilitate marginală și preț, condiția bugetară și diferența dintre bunurile divizibile și cele cumpărate în unități întregi. Datele sunt fictive și aparțin unui model școlar.

Ce trebuie cunoscut înainte de calcul

Pentru două bunuri X și Y, ai nevoie de prețurile Pₓ și Pᵧ, de venitul disponibil V și de informații despre utilități. Cantitățile alese sunt x și y. Un program realizabil respectă Pₓx + Pᵧy ≤ V.

Dacă modelul presupune că venitul este cheltuit integral pentru cele două bunuri și că sporurile relevante de utilitate sunt pozitive, condiția devine egalitate. Nu transformi însă orice problemă într-una cu cheltuire integrală dacă enunțul permite economisirea sau dacă există bunuri indivizibile și rest de buget.

Utilitatea și prețul au roluri diferite. Prima descrie satisfacția în model, iar al doilea arată resursele bănești necesare pentru cumpărare. Raportul lor permite compararea sporului obținut pentru aceeași unitate monetară.

De ce împărțim utilitatea marginală la preț

Presupunem că o unitate X aduce 18 unități convenționale de utilitate și costă 6 lei, iar o unitate Y aduce 10 și costă 2 lei. Raporturile sunt 18/6 = 3 pentru X și 10/2 = 5 pentru Y.

Deși X are marginalul absolut mai mare, Y oferă în acest punct un spor mai mare pe leu. Aceasta arată de ce compararea directă 18 cu 10 poate conduce la o alegere greșită.

La modificarea cantităților, utilitățile marginale se pot schimba. Nu presupui că raportul de 5 rămâne același după orice număr de unități Y. Alegerea trebuie verificată pe întregul program posibil, respectând resursele disponibile.

Condiția clasică pentru un optim interior

În modelul cu bunuri divizibile, utilitate suficient de regulată și marginale descrescătoare, un optim interior care consumă bugetul respectă:

Umgₓ/Pₓ = Umgᵧ/Pᵧ, împreună cu Pₓx + Pᵧy = V.

„Interior” înseamnă că se consumă cantități pozitive din ambele bunuri. Condiția nu descrie automat un optim de colț, în care unul dintre bunuri nu este cumpărat, și nici orice problemă discretă cu unități întregi.

OpenStax prezintă regula utilității marginale raportate la preț în analiza alegerii. Egalitatea este un instrument al modelului, iar verificarea bugetului și a condițiilor rămâne necesară.

Exemplu rezolvat cu două ecuații

Se dau Umgₓ = 20 − 2x, Umgᵧ = 16 − 2y, Pₓ = 2 lei, Pᵧ = 1 leu și V = 13 lei. Bunurile sunt divizibile, utilitatea este aditivă, iar marginalele descriu funcții concave pe domeniul relevant.

Condiția de echilibru este (20 − 2x)/2 = (16 − 2y)/1, adică 10 − x = 16 − 2y. De aici obținem 2y − x = 6.

Bugetul impune 2x + y = 13, deci y = 13 − 2x. Înlocuind în prima ecuație: 2(13 − 2x) − x = 6, adică 26 − 5x = 6. Rezultă x = 4 și y = 5.

Verificarea bugetului: 2 × 4 + 1 × 5 = 13. Verificarea raporturilor: Umgₓ = 12 și Umgᵧ = 6, astfel încât 12/2 = 6/1 = 6. Ambele cantități și marginale sunt pozitive, în acord cu soluția interioară a modelului.

Nu scriem doar „4 și 5”. Precizăm că sunt patru unități X și cinci unități Y și arătăm ambele verificări. Numerele nu reprezintă o recomandare de cumpărare reală.

Bunuri indivizibile: verificarea combinațiilor

Acum presupunem că X și Y se cumpără numai în unități întregi, Pₓ = 2, Pᵧ = 1 și V = 6. Utilitățile totale sunt aditive și date astfel:

Cantitate	UT pentru X	UT pentru Y
0	0	0
1	16	9
2	28	16
3	36	21
4	Nu este necesară în buget	24
5	Nu este necesară în buget	25
6	Nu este necesară în buget	25

Combinațiile care cheltuiesc integral bugetul sunt (0,6), (1,4), (2,2) și (3,0). Utilitățile totale combinate sunt 25, 40, 44 și 36. Cea mai mare este 44, pentru două unități din fiecare bun.

Deoarece utilitățile din tabel nu scad pe domeniul realizabil, verificarea acestor combinații acoperă și posibilitatea unor combinații cu bani rămași: acestea nu pot depăși extensia lor realizabilă până la buget. În alte tabele, această justificare trebuie verificată din nou.

Marginalele ultimelor unități cumpărate sunt 12 pentru X și 7 pentru Y, deci raporturile sunt 6 și 7, fără egalitate exactă. Totuși, enumerarea arată optimul discret. Nu forțăm o fracție interzisă de enunț pentru a obține egalitatea.

Greșeli frecvente

Greșeală	Corectare
Compararea numai a marginalelor absolute	Împarte la preț și urmărește modificarea cantităților
Folosirea numai a egalității raporturilor	Adaugă și verifică restricția bugetară
Acceptarea unei cantități negative	Verifică domeniul și eventualele soluții de colț
Impunerea egalității exacte pentru unități întregi	Compară programele realizabile

Condițiile economice nu sunt un decor al algebrei. O soluție care depășește venitul sau cere cantități negative nu poate fi acceptată doar fiindcă rezolvă o ecuație intermediară.

Exerciții originale cu soluții

1. Compară două raporturi

X are Umg = 24 și preț 8, iar Y are Umg = 20 și preț 4. Care oferă sporul mai mare pe unitate monetară în punctul descris?

Soluție: X oferă 3, iar Y oferă 5. Y are raportul mai mare, deși marginalul absolut este mai mic.

2. Verifică bugetul

Un program are x = 3, y = 4, Pₓ = 5 și Pᵧ = 2. Este realizabil cu V = 20?

Soluție: cheltuiala este 15 + 8 = 23, deci depășește bugetul. Egalitatea eventuală a unor raporturi de utilitate nu repară această încălcare.

3. Interpretează soluția discretă

În tabelul principal, de ce programul (2,2) este preferat lui (1,4)?

Soluție: ambele costă 6, dar primul produce utilitate totală 44, iar al doilea 40. Comparația folosește același buget și aceeași funcție de evaluare.

Întrebări frecvente

Egalitatea raporturilor este suficientă în orice problemă?

Nu. Se verifică ipotezele modelului, bugetul, domeniul și caracterul divizibil sau indivizibil al bunurilor.

Pot folosi utilitatea totală în locul celei marginale în raport?

Nu pentru regula marginală. UT/P și Umg/P răspund la întrebări diferite.

Cum exersez metoda?

Rezolvă programe din subiecte BAC, urmărind înțelegerea formulelor. Un profesor de economie poate verifica ipotezele și soluțiile.

Reper de programă

Echilibrul consumatorului dezvoltă comportamentul rațional și utilitatea economică din programa oficială. Verifică documentele sesiunii tale.