Formule de calcul prescurtat: lista și exemple rezolvate

Cele trei formule de calcul prescurtat de bază se învață în clasa a VIII-a și se folosesc apoi în fiecare an de matematică: la calcul algebric, la ecuații, la fracții algebrice, la raționalizarea numitorilor. Apar în subiectele de la Evaluarea Națională și de la Bacalaureat. Sunt scurte și ușor de reținut, dar se greșesc des, mai ales la semne și la termenul din mijloc. Mai jos le găsești pe toate, cu exemple rezolvate, și felul în care le folosești invers, la descompunerea în factori.

Pe scurt:

• Pătratul sumei: (a + b)² = a² + 2ab + b²

• Pătratul diferenței: (a − b)² = a² − 2ab + b²

• Produsul sumei cu diferența: (a + b)(a − b) = a² − b²

• Greșeala clasică: (a + b)² nu este a² + b². Lipsește termenul 2ab.

• Citite de la dreapta la stânga, aceleași formule îți dau descompunerea în factori.

De unde vin formulele?

Din înmulțirea obișnuită a două paranteze. Pătratul sumei este (a + b) înmulțit cu el însuși:

(a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b²

Formula doar îți scurtează drumul. Dacă o uiți la o lucrare, o poți reface în zece secunde, înmulțind parantezele. Este un motiv în plus să o înțelegi, nu doar să o memorezi.

Cum aplici pătratul sumei?

(a + b)² = a² + 2ab + b²

În cuvinte: pătratul primului termen, plus de două ori produsul lor, plus pătratul celui de-al doilea.

Exemplul 1. (x + 3)²

• pătratul primului termen: x²

• dublul produsului: 2 · x · 3 = 6x

• pătratul celui de-al doilea: 9

Rezultat: x² + 6x + 9

Exemplul 2. (2x + 5)²

• pătratul primului termen: (2x)² = 4x²

• dublul produsului: 2 · 2x · 5 = 20x

• pătratul celui de-al doilea: 25

Rezultat: 4x² + 20x + 25

Atenție la primul pas: (2x)² este 4x², nu 2x². Se ridică la pătrat și coeficientul.

Cum aplici pătratul diferenței?

(a − b)² = a² − 2ab + b²

Singura diferență este semnul termenului din mijloc. Ultimul termen rămâne cu plus, pentru că un pătrat este întotdeauna pozitiv.

Exemplul 1. (x − 4)² = x² − 8x + 16

Exemplul 2. (3x − 2)² = 9x² − 12x + 4

Greșeala frecventă: x² − 8x − 16. Ultimul semn este plus.

Cum aplici produsul sumei cu diferența?

(a + b)(a − b) = a² − b²

Termenii din mijloc se reduc, așa că rămâne doar diferența pătratelor.

Exemplul 1. (x + 4)(x − 4) = x² − 16

Exemplul 2. (2x + 3)(2x − 3) = 4x² − 9

Exemplul 3. (√5 + 1)(√5 − 1) = 5 − 1 = 4

Al treilea exemplu arată de ce formula este atât de utilă la radicali: produsul a două expresii conjugate nu mai conține radical.

Ce formule se adaugă la liceu?

Pătratul unei sume de trei termeni:

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac

Cubul sumei și cubul diferenței:

• (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

• (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³

Suma și diferența de cuburi:

• a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)

• a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

Exemplu. (x + 2)³ = x³ + 3 · x² · 2 + 3 · x · 4 + 8 = x³ + 6x² + 12x + 8

Exemplu. x³ − 27 = (x − 3)(x² + 3x + 9)

Cum le folosești invers, la descompunerea în factori?

Descompunerea în factori înseamnă să scrii o sumă ca produs. Formulele, citite de la dreapta la stânga, fac exact asta.

Diferența de pătrate. Când vezi două pătrate despărțite de minus:

• x² − 9 = (x − 3)(x + 3)

• 4x² − 25 = (2x − 5)(2x + 5)

Pătratul perfect. Când vezi trei termeni, dintre care doi sunt pătrate, verifici dacă al treilea este dublul produsului:

• x² + 6x + 9 = (x + 3)², pentru că 6x = 2 · x · 3

• 4x² − 12x + 9 = (2x − 3)², pentru că 12x = 2 · 2x · 3

Dacă termenul din mijloc nu se potrivește, expresia nu este pătrat perfect. De exemplu, x² + 5x + 9 nu se descompune cu această formulă.

Descompunerea este folosită la simplificarea fracțiilor algebrice și la rezolvarea ecuațiilor. De exemplu, fracția (x² − 9) / (x + 3) devine x − 3, pentru x diferit de −3.

Unde te ajută la calculul cu numere?

Formulele scurtează și calculele obișnuite, fără calculator:

• 101² = (100 + 1)² = 10.000 + 200 + 1 = 10.201

• 99² = (100 − 1)² = 10.000 − 200 + 1 = 9.801

• 99 · 101 = (100 − 1)(100 + 1) = 10.000 − 1 = 9.999

• 47 · 53 = (50 − 3)(50 + 3) = 2.500 − 9 = 2.491

Cum le folosești la radicali?

Pătratul unei sume cu radical:

(√3 + 1)² = 3 + 2√3 + 1 = 4 + 2√3

Raționalizarea numitorului. Ca să scapi de radicalul de la numitorul fracției 1 / (√3 − 1), amplifici cu expresia conjugată, √3 + 1:

• numitorul devine (√3 − 1)(√3 + 1) = 3 − 1 = 2

• fracția devine (√3 + 1) / 2

Care sunt greșelile cele mai frecvente?

1. Uiți termenul din mijloc. (a + b)² nu este a² + b². Verifică cu numere: (2 + 3)² = 25, dar 4 + 9 = 13.

2. Semnul ultimului termen. La pătratul diferenței, ultimul termen este cu plus.

3. Nu ridici la pătrat coeficientul. (3x)² este 9x², nu 3x².

4. Confunzi diferența de pătrate cu pătratul diferenței. a² − b² se descompune în (a − b)(a + b). (a − b)² este altceva.

5. Încerci să descompui suma de pătrate. a² + b² nu se descompune în factori cu numere reale.

6. Minusul din fața parantezei. În −(x − 2)², calculezi întâi pătratul, apoi schimbi semnele tuturor termenilor: −x² + 4x − 4.

Cum le înveți ca să nu le mai greșești?

• deduce-le o dată, înmulțind parantezele, ca să știi de unde vin;

• lucrează 20 de exerciții scurte, zece în fiecare sens: dezvoltare și descompunere;

• verifică cu numere. Înlocuiește x cu 1 sau cu 2 în expresia inițială și în rezultat. Dacă valorile diferă, ai greșit;

• ține un caiet de greșeli. Cele mai multe erori se repetă: semnul, coeficientul, termenul din mijloc.

Despre lucrul în reprize scurte am scris în articolul despre de ce sunt mai eficiente decât orele lungi.

Dacă te încurci la exercițiile în care formulele se combină cu fracții sau cu radicali, un profesor îți poate arăta pașii și, mai ales, unde greșești tu. Pe pagina de meditații la matematică vezi anunțurile profesorilor, cu preț și durată, iar pe cea de meditații pentru Evaluarea Națională compari profilurile. Pe Hola25 poți rezerva o lecție de probă de 25 sau 50 de minute, cu prețul afișat înainte de plată. Lecția are loc în sala de lecții Hola25, pe o tablă comună. Anunțurile sunt publicate de profesori, iar platforma nu le verifică studiile sau experiența declarată.

Întrebări frecvente

Care sunt cele trei formule de bază?

Pătratul sumei, (a + b)² = a² + 2ab + b², pătratul diferenței, (a − b)² = a² − 2ab + b², și produsul sumei cu diferența, (a + b)(a − b) = a² − b².

În ce clasă se învață?

Cele trei formule de bază se învață în clasa a VIII-a, la calculul algebric. Formulele pentru cuburi se folosesc mai ales în liceu.

De ce (a + b)² nu este a² + b²?

Pentru că (a + b)² înseamnă (a + b)(a + b), iar la înmulțire apar și produsele ab și ba, adică 2ab.

Se poate descompune a² + b²?

Nu, în mulțimea numerelor reale. Doar diferența de pătrate, a² − b², se descompune, în (a − b)(a + b).

Cum verific dacă am aplicat corect o formulă?

Înlocuiește litera cu un număr mic, de exemplu 1 sau 2, atât în expresia de la care ai pornit, cât și în rezultat. Cele două valori trebuie să fie egale.