Numere divizibile într-un interval: cum le numeri

Pentru a număra multiplii unui număr într-un interval, găsești primul multiplu admis și ultimul multiplu admis, apoi numeri pașii dintre ei și adaugi unu. Dacă primul este $p$, ultimul este $q$, iar divizorul pozitiv este $d$, numărul multiplilor este $(q-p)/d+1$, cu condiția să existe cel puțin un multiplu.

De exemplu, multiplii lui 7 între 20 și 80, cu capetele incluse, încep cu 21 și se termină cu 77. Sunt $(77-21)/7+1=9$. Nu trebuie să testezi pe rând toate cele 61 de numere din interval.

Ce numeri: divizori sau multipli?

Un multiplu al lui 7 se scrie $7k$, cu $k$ întreg. Într-un interval pozitiv, întâlnești numere precum 21, 28 sau 35. Divizorii lui 7 sunt o altă întrebare: numerele pozitive care împart exact 7 sunt 1 și 7.

Formularea „câte numere divizibile cu 7” cere multipli ai lui 7. Nu cere numărul divizorilor capătului intervalului și nici suma numerelor găsite. Scrie obiectul numărării înainte să alegi formula.

Lucrăm mai întâi cu numere întregi pozitive și cu un divizor pozitiv. La final discutăm separat intervalele care conțin zero sau numere negative. Această ordine evită folosirea unei reguli de rotunjire nepotrivite la câturi negative.

Cum găsești primul și ultimul multiplu?

Caută multiplii lui 9 între 50 și 140, inclusiv. Împărțirea lui 50 la 9 dă câtul 5 și restul 5. Multiplicatorul 5 produce 45, prea mic; următorul, 6, produce 54. Acesta este primul multiplu admis.

La capătul superior, $140=9\cdot15+5$. Multiplicatorul 15 produce 135, încă admis. Următorul ar produce 144, prea mare. Ultimul multiplu este deci 135.

Numeri acum multiplicatorii întregi de la 6 la 15: $15-6+1=10$. Aceștia corespund pe rând multiplilor 54, 63, 72 și așa mai departe, până la 135.

Dacă limita inferioară este deja multiplu și este inclusă, o păstrezi. Pentru intervalul de la 54 la 140, primul multiplu rămâne 54. Nu treci automat la 63 doar fiindcă ai efectuat o împărțire.

De ce trebuie adăugat unu?

Între trei repere aflate la 10, 15 și 20 sunt două spații, dar trei repere. Diferența dintre ultimul și primul, împărțită la pas, numără spațiile. Adăugarea lui unu transformă numărul spațiilor în numărul valorilor.

Pentru multiplii lui 9 de la 54 la 135, diferența este 81. Împărțirea la 9 dă nouă pași. Sunt însă zece numere, pentru că îl incluzi și pe cel de la care începi.

Un control bun este intervalul care conține un singur multiplu. Între 20 și 22, singurul multiplu al lui 7 este 21. Formula dă $(21-21)/7+1=1$. Fără acel unu, ai obține zero și ai pierde singurul număr din listă.

Cazurile mici fac parte din verificarea unei rezolvări la matematică: ele arată ce numără expresia ta, înainte să o aplici unui interval cu mii de valori.

Cum folosești partea întreagă pentru un interval pozitiv?

Notația $\lfloor x\rfloor$ reprezintă cel mai mare număr întreg care nu depășește $x$. De exemplu, $\lfloor 80/7\rfloor=11$, pentru că 11 este câtul întreg pozitiv, iar 12 ar fi prea mare.

De la 1 până la $b$, inclusiv, există $\lfloor b/d\rfloor$ multipli pozitivi ai lui $d$. Pentru a păstra numai intervalul de la $a$ până la $b$, scazi multiplii aflați înaintea lui $a$:

$$N=\left\lfloor\frac{b}{d}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{a-1}{d}\right\rfloor.$$

Aici $a$ și $b$ sunt întregi pozitivi, $a\leq b$, iar $d$ este întreg pozitiv. Termenul $a-1$ este esențial: elimini numerele strict mai mici decât $a$, păstrând chiar limita dacă este multiplu.

Pentru 20–80 și divizorul 7, obții $11-2=9$. Pentru 21–80 obții tot $11-2=9$. Dacă ai scădea partea întreagă a lui $21/7$, ai elimina greșit și numărul 21.

Cum se schimbă calculul la capete excluse?

Între 20 și 60, multiplii lui 5 pot include sau exclude capetele. Scrie întâi condiția exactă:

Condiție	Primul	Ultimul	Număr de valori
$20\leq x\leq60$	20	60	9
$20<x\leq60$	25	60	8
$20\leq x<60$	20	55	8
$20<x<60$	25	55	7

Diferența apare deoarece ambele capete sunt multipli ai lui 5. Dacă limita ar fi 21, includerea sau excluderea ei nu ar modifica lista multiplilor lui 5: 21 nu poate fi numărat oricum.

Pentru numere întregi, o limită strictă se poate transforma într-una inclusivă. Condiția $20<x<60$ înseamnă $21\leq x\leq59$. Apoi aplici aceeași metodă ca înainte. Nu schimba semnele mecanic fără să precizezi că numeri întregi.

Câte numere de trei cifre sunt divizibile cu 12?

Numerele de trei cifre sunt de la 100 la 999. Primul multiplu al lui 12 este 108, adică $12\cdot9$. Ultimul este 996, adică $12\cdot83$. Multiplicatorii merg de la 9 la 83, deci sunt 75 de numere.

Verificarea cu formula părților întregi dă $\lfloor999/12\rfloor-\lfloor99/12\rfloor=83-8=75$. Folosești 99 la termenul scăzut, deoarece elimini toate numerele care au cel mult două cifre.

Nu începi la 0 și nu incluzi 1.008. Faptul că numărul este divizibil cu 12 nu este suficient: el trebuie să respecte simultan și condiția de a avea exact trei cifre.

Cum numeri multiplii comuni sau numerele excluse?

Între 1 și 180, numerele divizibile și cu 4, și cu 6 sunt multiplii lui 12. Numărul 12 este cel mai mic multiplu comun al celor doi divizori. Există $180/12=15$ astfel de numere.

Nu folosești automat produsul $4\cdot6=24$. Multiplii lui 24 îndeplinesc condiția, dar ai pierde numere precum 12 sau 36. Pentru a înțelege factorii comuni implicați, poți revedea recunoașterea numerelor prime înainte de descompuneri.

Dacă se cer numerele divizibile cu 4, dar nu și cu 6, pornești de la cei 45 de multipli ai lui 4. Elimini cei 15 multipli comuni: rămân 30. Scazi numai intersecția celor două condiții, nu toți multiplii lui 6 din interval.

Ce faci dacă intervalul conține zero sau numere negative?

Zero este multiplu al oricărui întreg nenul, deoarece $0=d\cdot0$. Între −10 și 10, multiplii lui 4 sunt −8, −4, 0, 4, 8: cinci valori.

Metoda primului și ultimului multiplu funcționează direct: diferența este 16, pasul este 4, deci ai patru spații și cinci valori. Nu dublezi doar numărul multiplilor pozitivi, deoarece ai omite zero.

Dacă folosești notații de rotunjire, ai grijă că $\lfloor-2,5\rfloor=-3$, nu −2. Partea întreagă inferioară nu înseamnă eliminarea zecimalelor către zero. Enumerarea este o verificare bună pentru primele exemple cu limite negative.

Exerciții cu răspunsuri explicate

1. Câți multipli ai lui 8 sunt între 30 și 100, inclusiv? 9: de la 32 la 96, cu multiplicatorii 4–12.
2. Câți multipli ai lui 6 sunt strict între 12 și 48? 5: 18, 24, 30, 36, 42.
3. Câți multipli ai lui 13 sunt între 40 și 50? 0. Multiplii vecini sunt 39 și 52, ambii în afara intervalului.
4. Câte numere de două cifre se divid cu 7? 13: primul este 14, ultimul 98, iar multiplicatorii merg de la 2 la 14.

Dacă pierzi mereu câte un număr, notează capetele și primul exemplu exclus. Această eroare precisă poate fi punctul de pornire când cauți sprijin în anunțurile pentru meditații la matematică.

Întrebări frecvente

Pot împărți lungimea intervalului la divizor?

Nu fără ajustarea capetelor. Lungimea nu spune dacă primul și ultimul număr sunt multipli și nici dacă sunt incluși.

Formula cu primul și ultimul multiplu merge dacă nu există niciunul?

Trebuie să verifici întâi existența lor în interval. Dacă primul candidat depășește limita superioară, răspunsul este zero.

Unde este definită riguros partea întreagă?

Victor Shoup explică partea întreagă și numărarea multiplilor în primul capitol al cărții sale. Exemplele de intervale și calculele de aici sunt construite separat.