Lama cu fețe paralele: deplasarea razei la BAC

O rază care traversează o lamă transparentă cu fețe paralele poate ieși paralelă cu direcția inițială, dar deplasată lateral. Cele două refracții schimbă traseul în interior și la ieșire. Paralelismul final apare când mediul de după lamă este același cu mediul de dinainte, nu pentru orice succesiune de materiale.

Lecția este o aplicație a legii refracției, în modulul Optică, pentru profilurile real, militar și tehnologic. Considerăm o lamă omogenă, plană, cu grosimea d măsurată perpendicular pe fețe. Urmărim raza transmisă principală și neglijăm razele rezultate prin reflexii multiple, absorbția și efectele de interferență.

Geometria înaintea formulelor

Notăm cu i unghiul de incidență pe prima față și cu r unghiul razei din lamă față de normală. La a doua față, normala este paralelă cu prima, deoarece fețele sunt paralele. Prin urmare, unghiul de incidență internă pe fața de ieșire este tot r.

Notăm cu e unghiul razei emergente față de normala la a doua față. Mediul exterior are indicele n₀ pe ambele părți, iar lama are indicele n. Legea lui Snell se aplică de două ori: n₀ sin i = n sin r și n sin r = n₀ sin e.

Comparând ecuațiile, rezultă sin e = sin i. Pentru unghiurile de propagare din intervalul obișnuit, e = i. Raza emergentă este paralelă cu cea incidentă, însă nu se află în general pe aceeași dreaptă.

Trei lungimi diferite

Grosimea lamei este d, măsurată perpendicular pe fețe. Drumul geometric al razei în interior este s = d/cos r. Proiecția acestui drum de-a lungul feței este x = d tan r.

Deplasarea laterală a razei emergente se măsoară perpendicular pe direcția incidentă. O notăm cu δ. Ea nu este egală nici cu s, nici cu x. Pentru n mai mare decât n₀ și i pozitiv, formula este δ = d sin(i − r)/cos r.

Mărime	Cum se măsoară	Relație
Grosime	Perpendicular pe fețe	d
Drum în lamă	De-a lungul razei din material	d/cos r
Deplasare de-a lungul feței	Proiecția drumului interior	d tan r
Deplasare laterală	Perpendicular pe direcția incidentă	d sin(i − r)/cos r

Această separare este esențială. Într-un desen, segmentele pot părea apropiate ca mărime, dar răspund unor întrebări diferite. Scrie denumirea segmentului lângă formulă.

De unde rezultă deplasarea laterală

Fără lamă, prelungirea razei incidente ar ajunge pe planul celei de-a doua fețe la distanța d tan i față de normala prin punctul de intrare. Cu lamă, raza ajunge la d tan r. Diferența celor două poziții pe față este d(tan i − tan r).

Pentru distanța perpendiculară dintre cele două direcții paralele, proiectăm această diferență cu factorul cos i. Obținem δ = d(tan i − tan r)cos i. Folosind relațiile trigonometrice, expresia devine d sin(i − r)/cos r.

Deducerea arată ce înseamnă formula și de ce nu poți înlocui grosimea cu drumul oblic. Pentru sensuri sau indici care schimbă orientarea deplasării, poți folosi expresia algebrică și apoi modulul, dacă se cere numai distanța.

Problemă rezolvată cu unghiuri simple

O lamă are indicele n = √2 și grosimea d = 3 cm. Ea este în aer, aproximat cu n₀ = 1. Unghiul de incidență este i = 45°. Din legea refracției, sin r = sin45°/√2 = 1/2, deci r = 30°.

Unghiul de emergență este e = 45°, astfel că direcțiile inițială și finală sunt paralele. Drumul în lamă este s = 3/cos30° = 2√3 cm, aproximativ 3,46 cm.

Deplasarea de-a lungul feței este x = 3 tan30° = √3 cm, aproximativ 1,73 cm. Deplasarea laterală este δ = 3 sin15°/cos30°, aproximativ 0,897 cm. Cele trei valori diferite confirmă de ce segmentele nu trebuie confundate.

Putem verifica ultima valoare prin cealaltă expresie: diferența pozițiilor pe față este 3(1 − 1/√3) cm, aproximativ 1,268 cm. Înmulțirea cu cos45° dă aproximativ 0,897 cm.

Ce se întâmplă dacă se dublează grosimea

Pentru aceiași indici și același unghi incident, unghiul r rămâne neschimbat. Legea lui Snell nu conține grosimea. În schimb, drumul interior, proiecția lui și deplasarea laterală sunt direct proporționale cu d.

Dacă grosimea din exemplu devine 6 cm, deplasarea laterală devine aproximativ 1,79 cm. Unghiul emergent rămâne 45°. O lamă mai groasă produce o translație laterală mai mare, nu o nouă deviație unghiulară finală, în condițiile date.

La incidență normală, i = r = e = 0. Raza nu este deplasată lateral, deși viteza luminii în lamă este diferită de cea din aer. Absența unei cotituri sau a deplasării nu înseamnă că mediul nu are efect asupra propagării.

Dacă mediile exterioare sunt diferite

Presupunem acum indicele n₁ înainte de lamă și n₃ după ea. Ecuațiile conduc la n₁ sin i = n₃ sin e. Unghiul final nu mai este în general egal cu unghiul inițial.

Indicele lamei influențează traseul interior și poziția punctului de ieșire. Pentru fețe paralele și transmitere posibilă, relația dintre direcția inițială și cea finală depinde de indicii mediilor de început și de sfârșit. Nu aplica formula deplasării dintre raze paralele dacă acestea nu mai sunt paralele.

Trebuie verificată și existența razei transmise. Dacă o ecuație ar cere un sinus mai mare decât unu, nu există unghi refractat real în modelul geometric la acea interfață. Nu corecta rezultatul prin inversarea arbitrară a indicilor.

Exerciții cu soluții

Exercițiul 1. O lamă în aer este traversată la incidență de 30°. Care este unghiul de emergență, dacă raza trece prin ambele fețe paralele?

Unghiul de emergență este 30°. Rezultatul nu cere valoarea indicelui pentru a stabili direcția finală, dar indicele este necesar pentru traseul interior și deplasarea laterală.

Exercițiul 2. Grosimea este 4 cm, iar unghiul interior este 60°. Care este lungimea drumului în lamă?

Drumul este s = 4/cos60° = 8 cm. Folosirea lui 4 cm drept drum ar subestima distanța parcursă de rază. Datele sunt geometrice; existența întregului traseu se verifică din mediile precizate într-un enunț complet.

Exercițiul 3. O lamă produce deplasarea laterală de 2 mm. Ce deplasare produce o lamă din același material, cu grosime de trei ori mai mare, la aceeași incidență și în aceleași medii?

Deplasarea devine 6 mm. Unghiurile de refracție și emergență nu se schimbă, deoarece indicii și unghiul incident sunt aceiași.

Exercițiul 4. De ce nu este deplasarea laterală egală cu diferența d(tan i − tan r)?

Acea diferență se măsoară de-a lungul feței. Deplasarea laterală se măsoară perpendicular pe razele paralele, deci mai este necesară proiecția cu cos i.

Organizarea rezolvării

Marchează ambele normale, calculează r, verifică e și identifică exact segmentul cerut. Aplică metoda pe subiecte de BAC. Deducerea geometrică este o formă de învățare prin înțelegere. Un profesor de fizică poate verifica dacă desenul păstrează paralelismul fețelor și al normalelor.

Întrebări frecvente

Raza iese pe aceeași dreaptă pe care a intrat?

În general, nu. Pentru aceleași medii exterioare, direcția este paralelă, dar apare o deplasare laterală la incidență oblică.

Grosimea schimbă unghiul de refracție?

Nu în acest model omogen. Unghiul depinde de indicii mediilor și de incidență. Grosimea schimbă distanțele parcurse.

Formula este valabilă pentru o prismă?

Nu direct. Fețele unei prisme nu sunt în general paralele, deci trebuie urmărită geometria fiecărei interfețe.

Surse

Aplicația se încadrează în refracția din programa oficială. Legea refracției este verificată în manualul Universității Tehnice Delft, iar deplasarea laterală este dedusă geometric mai sus. Exemplele sunt originale.