Lumina prin straturi: traseu și timp la BAC

Când lumina traversează mai multe straturi transparente, fiecare segment are propria viteză și propriul unghi. Pentru timpul total de propagare, aduni timpii pe segmente. Grosimea unui strat nu este întotdeauna lungimea drumului razei, iar media simplă a indicilor nu rezolvă orice configurație.

Lecția este o aplicație a indicelui de refracție și a legii lui Snell, în modulul Optică, pentru profilurile real, militar și tehnologic. Considerăm medii omogene, transparente, cu suprafețe plane paralele și indici constanți pentru lumina analizată. Nu introducem condiții de interferență și nu presupunem că viteza luminii este aceeași în toate mediile.

Relația dintre indice și viteză

Indicele absolut de refracție este n = c/v, unde c este viteza luminii în vid și v este viteza de fază în mediul considerat. În calculele școlare folosim de obicei c = 3 × 10⁸ m/s, dacă enunțul permite această aproximație.

Pentru un segment geometric de lungime s într-un mediu cu indice n, timpul de propagare în model este t = s/v = ns/c. Produsul ns are dimensiunea unei lungimi și este numit drum optic. El nu reprezintă o nouă distanță geometrică desenată în material, ci lungimea echivalentă în vid asociată aceluiași timp în modelul nedispersiv.

În problemele elementare discutate aici, indicii sunt considerați independenți de frecvență pe domeniul relevant. Pentru impulsuri în medii dispersive, viteza de grup poate necesita o analiză diferită; nu extindem automat formula cu indicele de fază la orice măsurare temporală.

Incidența normală: cazul de pornire

Dacă raza intră perpendicular pe straturile paralele, ea rămâne pe normală. Drumul geometric prin fiecare strat este egal cu grosimea lui. Pentru două straturi, timpul total este t = (n₁d₁ + n₂d₂)/c.

Considerăm d₁ = 3 cm, n₁ = 1,5, d₂ = 2 cm și n₂ = 2. Transformăm grosimile în metri. Drumul optic total este 1,5 × 0,03 + 2 × 0,02 = 0,085 m. Timpul total este 0,085/(3 × 10⁸) s, aproximativ 2,83 × 10⁻¹⁰ s.

Același rezultat poate fi exprimat ca 0,283 ns. Nu confunda nanosecunda cu microsecunda: diferența este de o mie de ori. Calculul ordinului de mărime este util, deoarece lumina parcurge distanțe de ordinul centimetrilor în fracțiuni foarte mici de secundă.

Întârzierea față de propagarea în vid

Pentru aceeași distanță geometrică totală de 5 cm, timpul în vid ar fi 0,05/c, aproximativ 1,67 × 10⁻¹⁰ s. Diferența față de timpul prin straturi este 0,035/c, aproximativ 1,17 × 10⁻¹⁰ s.

La incidență normală, întârzierea se poate scrie Δt = [(n₁ − 1)d₁ + (n₂ − 1)d₂]/c. Formula compară două trasee cu aceeași lungime geometrică: unul prin materialele date și unul în vid.

Dacă reperul de comparație este aerul modelat cu un indice diferit de unu, înlocuiești unitatea cu acel indice. Nu schimba mediul de referință fără să modifici și expresia diferenței de timp.

Incidența oblică și unghiurile succesive

Pentru suprafețe paralele, normalele au aceeași direcție. La fiecare interfață aplicăm legea lui Snell. Rezultă că produsul n sinθ rămâne același de-a lungul succesiunii de straturi, cât timp există raze transmise.

Dacă mediul inițial are indicele n₀ și unghiul i, în stratul j avem n_j sinθ_j = n₀ sin i. După calcularea unghiului, drumul geometric este s_j = d_j/cosθ_j. Timpul segmentului este n_jd_j/(c cosθ_j).

Etapă	Operație
Unghiul din strat	sinθ_j = n₀ sin i/n_j
Existența razei	Verifici că sinusul este cel mult unu
Drumul geometric	s_j = d_j/cosθ_j
Timpul segmentului	t_j = n_js_j/c
Timpul total	Aduni timpii tuturor segmentelor

Nu aduna grosimile și apoi împărți la o viteză aleasă arbitrar. Fiecare mediu contribuie prin propriul indice și prin lungimea efectivă a razei în interior.

Exemplu oblic cu două straturi

Lumina vine din aer la i = 45°. Primul strat are n₁ = √2 și grosimea d₁ = √3 cm. Al doilea are n₂ = 1 și grosimea d₂ = 1 cm. Valorile sunt didactice, alese pentru unghiuri simple.

În primul strat, sinθ₁ = sin45°/√2 = 1/2, deci θ₁ = 30°. Drumul este s₁ = √3/cos30° = 2 cm. În al doilea, θ₂ = 45°, iar drumul este s₂ = 1/cos45° = √2 cm.

Drumul optic total este n₁s₁ + n₂s₂ = 2√2 + √2 = 3√2 cm, aproximativ 0,0424 m. Timpul total este aproximativ 1,41 × 10⁻¹⁰ s. Observă că grosimea geometrică totală, √3 + 1 cm, nu este nici drumul razei, nici drumul optic.

Proiecția laterală acumulată este d₁tan30° + d₂tan45° = 1 + 1 = 2 cm. Această valoare descrie poziția punctului de ieșire de-a lungul fețelor. Nu este un timp și nu înlocuiește suma drumurilor oblice.

Ce indice mediu poți defini

La incidență normală, poți defini un indice efectiv pentru timpul total: n_ef = (n₁d₁ + n₂d₂)/(d₁ + d₂). Este o medie ponderată cu grosimile. Pentru exemplul de 3 cm și 2 cm, indicele efectiv este 0,085/0,05 = 1,7.

Media aritmetică simplă a indicilor, 1,75, ar fi corectă numai pentru grosimi egale în această comparație. La incidență oblică, trebuie folosite drumurile efective și o definiție clară a distanței de referință. Nu există o singură „medie a indicilor” potrivită tuturor cerințelor.

Exerciții cu soluții

Exercițiul 1. O rază parcurge normal 4 cm într-un mediu cu n = 1,5. Calculează timpul folosind c = 3 × 10⁸ m/s.

Drumul optic este 0,06 m, iar timpul este 2 × 10⁻¹⁰ s. Viteza în mediu este 2 × 10⁸ m/s și raportul 0,04/v confirmă rezultatul.

Exercițiul 2. Două straturi de grosime egală au indicii 1,2 și 1,8. Care este indicele efectiv pentru propagarea normală?

Ponderile sunt egale, deci indicele efectiv este 1,5. Dacă grosimile ar fi diferite, ar trebui folosită media ponderată.

Exercițiul 3. Grosimea unui strat este 5 cm, iar raza din el face 60° cu normala. Ce drum geometric parcurge?

Drumul este 5/cos60° = 10 cm. Timpul se calculează apoi cu indicele stratului. Grosimea singură nu este suficientă pentru timpul oblic.

Exercițiul 4. Un strat este înlocuit cu altul de aceeași grosime, având indice mai mare, la incidență normală. Cum se schimbă timpul?

Timpul crește proporțional cu indicele pentru acel segment. Restul contribuțiilor rămân neschimbate. Concluzia folosește incidența normală, astfel că drumul geometric nu se modifică.

Recapitulare

Separă unghiurile, distanțele și timpii într-un tabel. Aplică metoda pe subiectele de BAC care combină refracția cu indicele optic. Explicarea fiecărui segment susține înțelegerea relațiilor fizice. Un profesor de fizică poate verifica alegerea traseului și a reperului temporal.

Întrebări frecvente

Drumul optic este o distanță geometrică?

Nu este lungimea fizică a traseului, ci produsul indicelui cu acea lungime, însumat pe segmente. Are tot unitatea metru.

Se păstrează unghiul în toate straturile?

Nu. Se păstrează produsul n sinθ pentru interfețele paralele, în condițiile refracției. Unghiul se modifică atunci când indicele se schimbă.

Pot aduna timpii?

Da. Raza parcurge succesiv segmentele, iar durata totală este suma duratelor lor, cu unități consecvente.

Surse

Aplicația pornește din programa oficială de fizică. Legile opticii geometrice sunt verificate în manualul Universității Tehnice Delft. Exemplele și tabelele sunt originale.