Lentila din mărire și distanța obiect–ecran: BAC

Dacă o lentilă formează pe un ecran o imagine de mărime cunoscută, poți determina distanțele și distanța focală fără să le primești direct în enunț. Cheia este să combini formula lentilei cu raportul dimensiunilor și cu distanța dintre obiect și ecran. Fiecare informație aduce o ecuație diferită.

Lecția aparține modulului Optică, pentru profilurile real, militar și tehnologic. Considerăm un obiect real, o lentilă subțire convergentă între obiect și ecran și o imagine reală clară pe ecran. Razele sunt paraxiale, iar obiectul și ecranul sunt perpendiculare pe axa optică. Aplicațiile de mai jos sunt probleme inverse ale modelului lentilei.

Cele trei relații necesare

Notăm cu p distanța obiect–lentilă și cu q distanța lentilă–ecran. Ambele sunt pozitive în configurația analizată. Distanța totală obiect–ecran este L = p + q.

Formula lentilei este 1/f = 1/p + 1/q. Dacă notăm cu k raportul pozitiv dintre înălțimea imaginii și înălțimea obiectului, atunci k = q/p. Mărirea transversală algebrică este m = −k, deoarece imaginea reală a obiectului real este răsturnată.

Nu folosi k pozitiv în locul lui m într-o ecuație care păstrează semnul orientării. În calculele geometrice de aici, k reprezintă numai raportul dimensiunilor. Distincția permite folosirea unor lungimi pozitive și descrierea separată a orientării imaginii.

Distanțele din raportul dimensiunilor

Din q = kp și L = p + q obținem L = (1 + k)p. Prin urmare, p = L/(1 + k), iar q = kL/(1 + k). După ce ai aceste distanțe, calculezi f = pq/(p + q).

Combinând relațiile, rezultă f = kL/(1 + k)². Este util să știi deducerea, deoarece enunțurile pot oferi raportul invers, pot spune „de trei ori mai mică” sau pot da înălțimile în unități diferite.

Informație din enunț	Relație
Obiect și ecran la distanță fixă	p + q = L
Imagine de k ori dimensiunea obiectului	q = kp
Lentilă subțire	f = pq/(p + q)
Orientarea imaginii reale	m = −q/p

Exemplu complet cu imagine mărită

Obiectul și ecranul sunt la 90 cm unul de altul. Imaginea clară de pe ecran este de două ori mai înaltă decât obiectul. Avem L = 90 cm și k = 2.

Distanța obiect–lentilă este p = 90/3 = 30 cm. Distanța lentilă–ecran este q = 60 cm. Distanța focală este f = 30 × 60/90 = 20 cm. Convergența este 1/0,20 = 5 dioptrii.

Mărirea algebrică este −2, deci imaginea este răsturnată. Verificarea prin formula inverselor dă 1/30 + 1/60 = 1/20. În plus, obiectul se află între f și 2f, situație compatibilă cu o imagine reală mărită.

Dacă obiectul are înălțimea 3 cm, imaginea are înălțimea geometrică 6 cm. Dacă folosim înălțimi algebrice, cele două au semne opuse față de axa aleasă. Enunțul despre mărime nu elimină informația despre răsturnare.

Cele două poziții ale aceleiași lentile

Pentru aceeași lentilă și aceeași distanță L, distanțele p și q se pot inversa. În exemplul anterior, lentila poate fi la 60 cm de obiect și la 30 cm de ecran. Imaginea rămâne reală și clară, dar este de două ori mai mică.

Cele două poziții ale lentilei sunt separate prin 30 cm. În prima, raportul dimensiunilor este 2; în a doua, este 1/2. Produsul rapoartelor este unu. Acest lucru reflectă simetria formulei lentilei față de schimbarea lui p cu q.

Nu confunda cele două poziții cu două imagini simultane ale aceleiași configurații. Lentila trebuie mutată. Fiecare poziție produce propria imagine clară pe ecranul fix.

Distanța dintre poziții și determinarea lui f

Notăm cu a distanța dintre cele două poziții ale lentilei. Atunci p + q = L și modulul lui q − p este a. Alegând q mai mare, avem p = (L − a)/2 și q = (L + a)/2.

Produsul este pq = (L² − a²)/4. Din f = pq/L rezultă f = (L² − a²)/(4L). Această relație descrie metoda cu două poziții, derivată direct din geometria și formula lentilei.

De exemplu, L = 100 cm și a = 60 cm dau p = 20 cm și q = 80 cm. Distanța focală este (10000 − 3600)/400 = 16 cm. A doua poziție inversează distanțele și produce o imagine micșorată în locul celei mărite.

Când există o imagine reală pe ecranul fix

Pentru p și q pozitive cu suma L, produsul pq este cel mult L²/4. Cum f = pq/L, rezultă f ≤ L/4, adică L ≥ 4f. Aceasta este condiția de existență în modelul analizat.

Dacă L este mai mare decât 4f, există două poziții distincte. Dacă L = 4f, ele coincid: p = q = 2f, iar imaginea are aceeași dimensiune ca obiectul. Dacă L este mai mic decât 4f, nicio poziție a lentilei între obiect și ecran nu produce imaginea reală clară cerută.

Condiția nu spune că lentila nu poate forma nicio imagine. Spune că nu poate forma imaginea pe acel ecran, la acea distanță fixă obiect–ecran, în configurația precizată. Un ecran mutat sau o altă lentilă schimbă problema.

Exerciții cu soluții

Exercițiul 1. L = 80 cm, iar imaginea este de trei ori mai mare decât obiectul. Determină p, q și f.

Avem k = 3, deci p = 20 cm și q = 60 cm. Distanța focală este 20 × 60/80 = 15 cm. Mărirea algebrică este −3.

Exercițiul 2. L = 72 cm, iar imaginea este de două ori mai mică decât obiectul. Ce valoare are k?

k = 1/2, nu 2. Rezultă p = 72/1,5 = 48 cm, q = 24 cm și f = 48 × 24/72 = 16 cm. Imaginea este reală și răsturnată.

Exercițiul 3. O lentilă are f = 18 cm. Obiectul și ecranul sunt la 60 cm. Există o poziție potrivită între ele?

Nu, deoarece 4f = 72 cm, mai mare decât L. Ecranul trebuie îndepărtat suficient sau trebuie schimbată lentila, dacă se păstrează configurația cerută.

Exercițiul 4. Două poziții clare sunt separate prin 40 cm, iar L = 80 cm. Determină f.

Formula dă f = (6400 − 1600)/320 = 15 cm. Distanțele sunt 20 cm și 60 cm, în oricare ordine. Rezultatul coincide cu primul exercițiu, care descrie una dintre cele două poziții.

Cum verifici problema inversă

Controlează p + q, raportul q/p și formula lentilei. Cele trei verificări trebuie să fie simultan corecte. Exersează pe subiectele de BAC, pornind de la datele efectiv oferite.

Deducerea relațiilor susține învățarea prin înțelegere. Pentru enunțuri cu rapoarte inversate, un profesor de fizică poate verifica traducerea expresiei „mai mică” în ecuație.

Întrebări frecvente

Imaginea de pe ecran este virtuală?

Nu în acest model. Ea este produsă de întâlnirea reală a razelor și este o imagine reală.

Două poziții înseamnă două distanțe focale?

Nu. Aceeași lentilă are aceeași distanță focală. Se inversează distanțele obiectului și imaginii.

Pot avea imagine de aceeași mărime?

Da, la p = q = 2f. Pentru obiect și ecran fixe, acest caz corespunde lui L = 4f și unei singure poziții a lentilei.

Surse

Aplicația folosește lentilele subțiri din programa oficială. Relațiile de bază sunt verificate în OpenStax, lentile subțiri. Problemele inverse și deducerile sunt originale.