Mărirea unei figuri: cum se schimbă aria

Dacă mărești toate lungimile unei figuri de $k$ ori, aria se înmulțește cu $k^2$. Regula cere aceeași scară pe toate direcțiile. Dublarea fiecărei lungimi produce o arie de patru ori mai mare; nu o arie dublă.

Imaginează-ți o fotografie dreptunghiulară de 6 cm pe 9 cm. Aria ei este 54 cm². O copie mărită la 12 cm pe 18 cm are aria 216 cm². Fiecare latură s-a dublat, dar produsul laturilor s-a înmulțit cu patru. Acest exemplu separă două întrebări care se confundă ușor: cât cresc lungimile și cât crește suprafața.

De ce apare pătratul factorului de scară?

Pentru un dreptunghi cu laturile $L$ și $l$, aria este $A=L\cdot l$. După o mărire uniformă, laturile devin $kL$ și $kl$. Noua arie este:

$$A'=(kL)(kl)=k^2Ll=k^2A.$$

Factorul apare de două ori fiindcă se modifică două dimensiuni. Poți vedea lucrul acesta și cu pătrățele: un pătrat de o unitate pe o unitate devine, la dublare, un pătrat de două pe două. În el încap patru pătrățele inițiale.

La un triunghi, baza și înălțimea corespunzătoare se înmulțesc amândouă cu $k$. Împărțirea la 2 din formula ariei rămâne aceeași. La un cerc, raza se înmulțește cu $k$, iar pătratul razei aduce din nou factorul $k^2$. Nu este o proprietate rezervată dreptunghiurilor.

Ce condiție verifici înainte de calcul?

Verifică dacă figura păstrează forma: toate lungimile corespunzătoare trebuie să aibă același raport. Pentru o fotografie, asta înseamnă că nu ai întins-o doar pe lățime. Pentru un desen, trebuie să mărești și înălțimile, și distanțele dintre punctele corespunzătoare la aceeași scară.

Compară un dreptunghi de 4 cm pe 7 cm cu unul de 8 cm pe 21 cm. Prima latură s-a dublat, iar a doua s-a triplat. Nu există un singur factor de scară pentru aceste două dreptunghiuri. Aria se înmulțește cu $2\cdot3=6$, nu cu pătratul unuia dintre factori.

Acest control al datelor face parte din rezolvarea organizată a problemelor de matematică. Scrie ipoteza deasupra formulei: „mărire uniformă” sau „factori diferiți pe cele două direcții”. Astfel nu aplici mecanic o relație bună într-o situație nepotrivită.

Cum se schimbă perimetrul în aceeași mărire?

Perimetrul este o sumă de lungimi. Dacă fiecare latură se înmulțește cu $k$, suma se înmulțește tot cu $k$. Așadar, pentru aceeași transformare, ai $P'=kP$, dar $A'=k^2A$.

Pentru fotografia de 6 cm pe 9 cm, perimetrul este 30 cm. Copia de 12 cm pe 18 cm are perimetrul 60 cm și aria 216 cm². Perimetrul s-a dublat, iar aria s-a cvadruplat. Nu există o contradicție: cele două mărimi descriu conturul și, respectiv, suprafața.

Un tabel păstrează comparația clară:

Factorul lungimilor	Factorul perimetrului	Factorul ariei
2	2	4
3	3	9
1,5	1,5	2,25
0,5	0,5	0,25

Ultima linie descrie o micșorare. Regula funcționează și când factorul este pozitiv, dar mai mic decât 1. Nu trebuie să inventezi o formulă separată pentru copii reduse.

Un control rapid: dacă un desen este micșorat uniform și calculul tău dă o arie mai mare, probabil ai inversat raportul. Notează mereu care figură este originalul și care este copia.

Ce înseamnă o mărire a laturilor cu 20%?

O creștere cu 20% înseamnă înmulțirea lungimilor cu 1,2. Factorul ariei este $1,2^2=1,44$. Aria nouă reprezintă 144% din cea veche, deci creșterea ariei este de 44%.

De exemplu, un pătrat cu latura 10 cm are aria 100 cm². După mărire, latura este 12 cm, iar aria 144 cm². Diferența este 44 cm². Nu aduni simplu cele două creșteri de 20%, deoarece apare și zona suplimentară din colț.

Desenează pătratul inițial în interiorul celui mărit. În plus față de cei 100 cm² apar două fâșii de câte 20 cm² și un pătrat de 4 cm². Cele trei bucăți explică totalul de 44 cm² și oferă o verificare vizuală a calculului procentual.

Cum găsești factorul lungimilor dacă știi ariile?

Întâi împarți aria nouă la aria inițială, apoi extragi rădăcina pătrată pozitivă. Pentru două figuri asemenea cu ariile 48 cm² și 108 cm², raportul ariilor este $108/48=2,25$. Raportul lungimilor este $k=1,5$.

Dacă o latură a primei figuri măsoară 8 cm, latura corespunzătoare a celei de-a doua măsoară 12 cm. Verificarea inversă dă $1,5^2\cdot48=108$. Precizează sensul comparației: de la figura mică la cea mare factorul este 1,5; invers, este $2/3$.

Pentru arii în raport 2, raportul lungimilor este $\sqrt{2}$, nu 2. Păstrează valoarea exactă până la final dacă problema permite. O aproximare introdusă prea devreme poate produce o arie ușor diferită când refaci calculul de control.

Cum lucrezi pe un plan la scara 1:200?

La această scară, 1 cm pe plan corespunde la 200 cm în realitate, adică 2 m. Un dreptunghi de 3 cm pe 4 cm pe plan reprezintă unul de 6 m pe 8 m. Aria reală este 48 m².

Poți calcula și pornind de la aria de 12 cm² a desenului. Înmulțești cu $200^2=40000$ și obții 480000 cm². Apoi transformi în metri pătrați: împarți la 10000 și obții tot 48 m².

Greșeala tipică este să înmulțești aria doar cu 200. O alta este să transformi centimetrii pătrați ca pe centimetri. Verifică unitățile și bazele de calcul înainte să interpretezi rezultatul: o suprafață trebuie exprimată în unități pătrate.

Ce exerciții verifică dacă ai înțeles?

1. O figură cu aria 35 cm² este mărită uniform de trei ori. Aria nouă este 315 cm², deoarece factorul ariei este 9.
2. O copie are lungimile la jumătate și aria 18 cm². Aria originalului este 72 cm²: copia păstrează un sfert din suprafață.
3. Două pătrate au ariile 49 cm² și 121 cm². Raportul laturilor, de la primul la al doilea, este 11/7.
4. Lățimea unui dreptunghi crește de două ori, iar lungimea rămâne fixă. Aria se dublează, dar transformarea nu este o mărire uniformă.

La fiecare răspuns, notează întâi dacă ai primit un raport de lungimi sau de arii. Dacă această alegere rămâne neclară, poți porni o discuție cu un profesor găsit în anunțurile de matematică de la două desene și aceste rapoarte, fără să aduni formule noi.

Întrebări frecvente

Aria dublă înseamnă laturi duble?

Nu. Pentru figuri asemenea, o arie dublă înseamnă lungimi înmulțite cu rădăcina pătrată a lui 2.

Pot aplica regula dacă forma se deformează?

Nu automat. Relația cu un singur $k^2$ cere aceeași scară pentru toate lungimile corespunzătoare.

Unde pot explora relația prin desene?

Investigația NRICH „Growing Rectangles” discută legătura dintre scară și suprafață. Fotografia, planul și exercițiile numerice din acest articol sunt exemple proprii.