Regula de trei simplă: metodă și exemple rezolvate

Dintre toate metodele învățate la matematică în gimnaziu, regula de trei simplă este probabil cea pe care o folosești cel mai des ca adult: la cumpărături, la rețete, la consumul mașinii, la procente. Ideea este scurtă. Cunoști trei valori, vrei să o afli pe a patra, iar mărimile sunt proporționale. Singurul lucru la care trebuie să fii atent este felul proporționalității: directă sau inversă. Mai jos găsești metoda, exemple rezolvate și situațiile în care regula nu se aplică.

Pe scurt:

• Regula se aplică atunci când două mărimi sunt proporționale și cunoști trei dintre cele patru valori.

• Direct proporționale: cresc împreună. Se înmulțește „în cruce”: x = b · c / a.

• Invers proporționale: una crește, cealaltă scade. Se înmulțește „pe linie”: x = a · b / c.

• Exemplu direct: 3 kg costă 12 lei, deci 5 kg costă 12 · 5 / 3 = 20 de lei.

• Exemplu invers: 4 muncitori termină în 6 zile, deci 8 muncitori termină în 4 · 6 / 8 = 3 zile.

Ce este regula de trei simplă?

Este o metodă de a afla o valoare necunoscută dintr-o proporție. Ai două mărimi, de exemplu cantitatea și prețul, și două situații. Din prima situație cunoști ambele valori. Din a doua cunoști doar una. Pe a doua o afli.

Se numește „de trei” pentru că pornești de la trei numere cunoscute.

Așezarea clasică, pe două rânduri:

• a ............ b

• c ............ x

Se citește: „dacă lui a îi corespunde b, atunci lui c îi corespunde x”.

Cum aplici regula la mărimi direct proporționale?

Două mărimi sunt direct proporționale dacă, atunci când una crește de un număr de ori, cealaltă crește de același număr de ori. Mai multe kilograme, mai mulți bani. Mai mulți kilometri, mai mult combustibil.

Formula: x = b · c / a. Înmulțești valorile de pe diagonală și împarți la a treia.

Exemplul 1, prețul. 3 kg de mere costă 12 lei. Cât costă 5 kg?

• 3 kg ............ 12 lei

• 5 kg ............ x lei

• x = 12 · 5 / 3 = 20 de lei

Exemplul 2, consumul. O mașină consumă 6 litri la 100 km. Cât consumă la 250 km?

• 100 km ............ 6 litri

• 250 km ............ x litri

• x = 6 · 250 / 100 = 15 litri

Exemplul 3, rețeta. Pentru 4 persoane, o rețetă cere 300 g de făină. Câtă făină îți trebuie pentru 6 persoane?

• 4 persoane ............ 300 g

• 6 persoane ............ x g

• x = 300 · 6 / 4 = 450 g

Cum aplici regula la mărimi invers proporționale?

Două mărimi sunt invers proporționale dacă, atunci când una crește de un număr de ori, cealaltă scade de același număr de ori. Mai mulți muncitori, mai puține zile. Viteză mai mare, timp mai scurt.

Formula: x = a · b / c. Înmulțești valorile de pe primul rând și împarți la a treia.

Exemplul 4, muncitorii. 4 muncitori termină o lucrare în 6 zile. În câte zile o termină 8 muncitori, în același ritm?

• 4 muncitori ............ 6 zile

• 8 muncitori ............ x zile

• x = 4 · 6 / 8 = 3 zile

Exemplul 5, viteza. Cu 60 km/h, un drum durează 3 ore. Cât durează cu 90 km/h?

• 60 km/h ............ 3 ore

• 90 km/h ............ x ore

• x = 60 · 3 / 90 = 2 ore

Exemplul 6, robinetele. 5 robinete umplu un bazin în 12 ore. În cât timp îl umplu 6 robinete la fel?

• x = 5 · 12 / 6 = 10 ore

Cum îți dai seama dacă proporționalitatea este directă sau inversă?

Pune-ți o singură întrebare: „dacă prima mărime se dublează, ce se întâmplă cu a doua?”

• Se dublează și ea: proporționalitate directă. De două ori mai multe mere costă de două ori mai mult.

• Se înjumătățește: proporționalitate inversă. De două ori mai mulți muncitori termină în jumătate din timp.

• Nici una, nici alta: mărimile nu sunt proporționale, iar regula nu se aplică.

Care sunt pașii, pe scurt?

1. Scrie mărimile pe două coloane, cu unitățile de măsură.

2. Așază valorile pe două rânduri, fiecare mărime în coloana ei.

3. Stabilește felul: direct sau invers proporționale.

4. Calculează cu formula potrivită.

5. Verifică dacă rezultatul are sens. Mai mulți muncitori nu pot avea nevoie de mai multe zile.

Cum rezolvi procente cu regula de trei?

Procentele sunt cazul cel mai des întâlnit de proporționalitate directă. Întregul corespunde lui 100%.

Cât este 25% din 80?

• 100% ............ 80

• 25% ............ x

• x = 80 · 25 / 100 = 20

Cât la sută reprezintă 15 din 60?

• 60 ............ 100%

• 15 ............ x%

• x = 100 · 15 / 60 = 25%

Prețul inițial. După o reducere de 20%, un produs costă 160 de lei. Cât costa înainte?

• prețul redus reprezintă 80% din cel inițial

• 80% ............ 160 de lei

• 100% ............ x lei

• x = 160 · 100 / 80 = 200 de lei

Unde te mai ajută?

Hărți și scări. Pe o hartă la scara 1:50.000, un centimetru înseamnă 50.000 cm în teren. 3 cm pe hartă înseamnă 150.000 cm, adică 1,5 km.

Unități de măsură. Un inch are 2,54 cm. Un ecran de 15 inch are diagonala de 15 · 2,54 = 38,1 cm.

Fizică și chimie. Multe probleme de concentrații, de mișcare uniformă sau de densitate sunt, de fapt, reguli de trei.

Ce este metoda reducerii la unitate?

Este aceeași idee, în doi pași: afli întâi cât corespunde unei singure unități, apoi înmulțești.

Pentru exemplul cu merele: dacă 3 kg costă 12 lei, atunci 1 kg costă 4 lei, iar 5 kg costă 20 de lei.

Metoda este mai lentă, dar mai greu de greșit. Este potrivită când începi sau când vrei să îți verifici rezultatul.

Ce este regula de trei compusă?

Se folosește când apar trei mărimi în loc de două. O rezolvi luând mărimile pe rând.

Exemplu. 4 muncitori fac 120 de piese în 6 zile. Câte piese fac 6 muncitori în 10 zile, în același ritm?

• numărul de piese este direct proporțional cu numărul de muncitori: 120 · 6 / 4 = 180 de piese, în 6 zile

• este direct proporțional și cu numărul de zile: 180 · 10 / 6 = 300 de piese

Verificare prin reducere la unitate: un muncitor face 5 piese pe zi. 6 muncitori, în 10 zile, fac 6 · 10 · 5 = 300 de piese.

Când nu se aplică regula?

Regula funcționează doar dacă mărimile sunt proporționale. Trei capcane clasice:

• Oul fiert. Dacă un ou fierbe în 10 minute, trei ouă fierb tot în 10 minute, nu în 30.

• Taxa fixă. Dacă un taxi are taxă de pornire, 10 km nu costă de două ori cât 5 km.

• Creșterea în înălțime. Un copil care are 1 metru la 4 ani nu va avea 2 metri la 8 ani.

Înainte de a calcula, întreabă-te dacă dublarea unei mărimi chiar dublează sau înjumătățește cealaltă.

Care sunt greșelile cele mai frecvente?

1. Formula directă aplicată la mărimi invers proporționale. Rezultă că 8 muncitori au nevoie de 12 zile în loc de 3.

2. Valorile așezate în coloana greșită. Kilogramele stau sub kilograme, iar leii sub lei.

3. Unități amestecate. Minute pe un rând și ore pe celălalt. Transformă totul în aceeași unitate înainte de calcul.

4. Rezultatul neverificat. O privire de o secundă îți spune dacă răspunsul este plauzibil.

5. Procentul aplicat la valoarea greșită. La prețul inițial, 100% este prețul de dinaintea reducerii, nu cel redus.

6. Regula aplicată la mărimi care nu sunt proporționale.

Unde apare la școală?

Proporționalitatea se studiază în clasa a VI-a, împreună cu rapoartele, proporțiile și procentele. Se folosește apoi la Evaluarea Națională, în problemele cu procente și în cele de geometrie cu asemănare, și la fizică și chimie, în tot gimnaziul și liceul.

Dacă ai un copil care se încurcă la aceste probleme, semnele că are nevoie de ajutor sunt descrise în articolul despre când este momentul potrivit pentru meditații.

Pe pagina de meditații la matematică vezi anunțurile profesorilor, cu nivelul la care lucrează, prețul și durata, iar pe cea de meditații pentru Evaluarea Națională compari profilurile. Pe Hola25 poți rezerva o lecție de probă de 25 sau 50 de minute, cu prețul afișat înainte de plată. Lecția are loc în sala de lecții Hola25, pe o tablă comună. Anunțurile sunt publicate de profesori, iar platforma nu le verifică studiile sau experiența declarată.

Întrebări frecvente

Care este formula pentru mărimi direct proporționale?

x = b · c / a, unde lui a îi corespunde b, iar lui c îi corespunde x. Se înmulțesc valorile de pe diagonală și se împarte la a treia.

Care este diferența dintre mărimile direct și invers proporționale?

Mărimile direct proporționale cresc sau scad împreună. La cele invers proporționale, când una crește, cealaltă scade de același număr de ori.

Cum calculez un procent cu regula de trei?

Pui întregul în dreptul lui 100% și afli valoarea din dreptul procentului căutat. De exemplu, 25% din 80 este 80 · 25 / 100 = 20.

Ce este reducerea la unitate?

O metodă în doi pași: afli valoarea pentru o singură unitate, apoi o înmulțești cu numărul de unități cerut.

În ce clasă se învață?

În clasa a VI-a, la capitolul despre rapoarte și proporții.