Numărul diagonalelor unui poligon: formulă și exemple

Un poligon convex cu $n$ vârfuri are $n(n-3)/2$ diagonale. Dintr-un vârf pornesc $n-3$ diagonale, iar împărțirea la 2 elimină numărarea fiecărei diagonale de două ori. Formula se aplică pentru $n\geq3$ și nu cere ca poligonul să fie regulat.

De exemplu, un octogon are opt vârfuri. Din fiecare poți trasa cinci diagonale, deci numărătoarea inițială dă 40. Fiecare segment a fost însă văzut din ambele capete: numărul corect este 20. Înțelegerea acestei dublări este mai utilă decât memorarea formulei fără explicație.

Ce este o diagonală și ce nu numeri?

O diagonală unește două vârfuri nealăturate ale unui poligon. Un segment dintre vârfuri vecine este latură. Nu numeri nici un segment de la un vârf la el însuși, nici un segment spre un punct ales în mijlocul unei laturi.

Desenează un pentagon și notează vârfurile, în ordine, A, B, C, D, E. Din A, segmentele AB și AE sunt laturi. Segmentele AC și AD sunt diagonale. Prin urmare, din A pornesc exact două diagonale.

Lucrăm cu poligoane convexe, astfel încât segmentele dintre vârfuri să rămână în interior sau pe contur. Nu amesteca această numărătoare cu diagonalele unui corp geometric: un cub aduce o altă distincție, între diagonale ale fețelor și diagonale ale corpului.

De unde apare termenul n minus 3?

Pornește dintr-un vârf ales și privește toate cele $n$ vârfuri. Excluzi trei: vârful de pornire și cei doi vecini ai lui. Rămân $n-3$ destinații permise.

La un triunghi, după cele trei excluderi nu mai rămâne niciun vârf: nu există diagonale. La un patrulater rămâne o singură destinație pentru fiecare vârf. La un hexagon rămân trei. Aceste cazuri mici sunt verificări bune pentru orice formulă propusă.

Dacă ai scris $n-2$, probabil ai exclus doar vecinii și ai uitat vârful de plecare. Dacă ai scris $n-1$, ai numărat toate celelalte vârfuri, inclusiv cele două laturi. Nu corecta expresia doar fiindcă „așa era formula”; identifică obiectul numărat greșit.

De ce împarți la 2, nu la numărul de vârfuri?

Înmulțirea $n(n-3)$ numără diagonalele care pleacă din fiecare vârf. Dar AC și CA sunt același segment. Nu reprezintă două diagonale diferite, chiar dacă le-ai parcurs în sensuri opuse.

Fiecare diagonală are exact două capete și apare de exact două ori. De aceea împarți totalul la 2. Nu împarți la $n$, deoarece o diagonală nu trece prin toate vârfurile. Explicația divisorului trebuie să corespundă numărului real de repetări.

Poți verifica pentagonul printr-o listă fără repetări: AC, AD, BD, BE, CE. Sunt cinci. Dacă scrii și CA, ai dublat prima intrare. Această metodă de listare este utilă când aplici pașii de verificare a unei rezolvări la matematică: un caz mic poate dezvălui ce anume ai numărat.

Cum folosești formula în trei exemple?

Poligon	Vârfuri	Diagonale dintr-un vârf	Total
Hexagon	6	3	9
Octogon	8	5	20
Dodecagon	12	9	54

Pentru dodecagon, calculul este $12\cdot9/2=54$. Poți împărți întâi 12 la 2, apoi înmulți 6 cu 9. Simplificarea schimbă ordinea calculelor, fără să schimbe expresia.

Pentru un poligon cu 25 de vârfuri, ai $25\cdot22/2=275$. Împarți 22 la 2 și calculezi $25\cdot11$. La numere mai mari, această alegere reduce volumul de calcul și riscul unei greșeli. Dacă ai dubii despre grupare, reia regulile privind ordinea operațiilor înainte să introduci numerele în formulă.

Totalul este întotdeauna întreg. Dacă $n$ este par, primul factor este par; dacă $n$ este impar, $n-3$ este par. Produsul se împarte deci exact la 2. Un rezultat cu jumătăți de diagonală semnalează o eroare de calcul sau de transcriere.

Cum afli numărul de laturi din numărul diagonalelor?

Să presupunem că poligonul are 35 de diagonale. Scrii $n(n-3)/2=35$, deci $n(n-3)=70$. Cauți două numere întregi pozitive cu produsul 70 și diferența 3. Perechea este 10 și 7, așadar $n=10$.

Nu alegi 7 drept număr de vârfuri: factorul mai mare reprezintă $n$, iar celălalt reprezintă $n-3$. Verificarea în formula inițială dă $10\cdot7/2=35$. Poligonul este un decagon.

Pentru 27 de diagonale, produsul ar trebui să fie 54. Perechile pozitive sunt 1 și 54, 2 și 27, 3 și 18, 6 și 9. Diferența 3 apare la 9 și 6, deci poligonul are nouă laturi. Metoda cu perechi este comodă pentru numere mici; o ecuație de gradul al doilea oferă alternativa generală.

Orice număr poate fi număr de diagonale?

Nu. Pentru șase vârfuri ai 9 diagonale, iar pentru șapte ai 14. Nu există un număr întreg de vârfuri între 6 și 7, deci nu există un poligon convex cu exact 10, 11, 12 sau 13 diagonale.

Mai mult, atunci când treci de la $n$ la $n+1$ vârfuri, totalul crește cu $n-1$. Din formula pentru cele două totaluri rezultă:

$$D_{n+1}-D_n=n-1.$$

Astfel, de la hexagon la heptagon adaugi 5 diagonale, iar de la heptagon la octogon adaugi 6. Nu adaugi mereu același număr. Un șir de rezultate cu diferențe constante ar trebui să te facă să verifici din nou numărătoarea.

Cum separi diagonalele de intersecțiile lor?

Într-un patrulater convex există două diagonale, care se întâlnesc într-un punct interior. Numărul segmentelor este 2, iar numărul punctelor de întâlnire este 1. Sunt întrebări diferite.

La poligoane cu mai multe vârfuri, mai multe diagonale se pot întâlni în același punct, în funcție de poziția vârfurilor. Formula de aici numără segmentele, fără să numere punctele de intersecție. De asemenea, un segment traversat de alte diagonale rămâne o singură diagonală, nu se transformă în mai multe.

Exerciții cu răspuns explicat

1. Câte diagonale pornesc dintr-un vârf al unui poligon cu 15 laturi? Răspuns: 12, deoarece excluzi vârful și cei doi vecini.
2. Câte diagonale are în total același poligon? Răspuns: 90, din $15\cdot12/2$.
3. Un poligon are 44 de diagonale. Câte laturi are? Răspuns: 11, deoarece $11\cdot8/2=44$.
4. Un coleg afirmă că un pentagon are 10 diagonale. Unde a greșit? A numărat fiecare segment din ambele capete și a omis împărțirea la 2.

Dacă desenele devin aglomerate, lucrează întâi cu trei vârfuri consecutive evidențiate. Poți folosi această dificultate concretă când compari anunțuri pentru meditații la matematică: cere să explici numărătoarea, nu doar să primești formula.

Întrebări frecvente

Poligonul trebuie să fie regulat?

Nu. Numărul diagonalelor depinde de numărul vârfurilor, nu de egalitatea laturilor sau a unghiurilor, în cadrul poligoanelor convexe discutate aici.

Număr și laturile când folosesc formula?

Nu. Cele două vârfuri vecine sunt excluse tocmai pentru a scoate laturile din numărătoare.

Cum pot explora fără să memorez rezultatul?

Desenează poligoane mici și compară lista segmentelor cu formula. Activitatea NRICH despre diagonale propune această direcție de investigație. Exemplele numerice, explicațiile și exercițiile de aici sunt construite separat.