Mișcarea uniform variată: ecuații și probleme BAC

Mișcarea rectilinie uniform variată are accelerație constantă. Viteza se schimbă liniar cu timpul, iar poziția depinde de pătratul timpului. Pentru BAC, cele două legi trebuie folosite împreună cu poziția și viteza inițiale; formula pentru pornire din repaus nu descrie orice mișcare accelerată.

Lecția aparține modulului A — Mecanică, pentru profilurile real, militar și tehnologic din programa istorică verificată. Lucrăm pe o singură axă, cu accelerație constantă pe intervalul declarat. Termenul „uniform variată” include atât creșterea, cât și scăderea mărimii vitezei, în funcție de semne.

Cele trei relații de bază

Notăm durata de la momentul inițial cu τ = t − t₀. Legea vitezei este v = v₀ + aτ. Legea poziției este x = x₀ + v₀τ + aτ²/2. Eliminând durata dintre ele, obținem v² = v₀² + 2a(x − x₀).

Fiecare relație are un rol. Prima leagă viteza de timp, a doua poziția de timp, iar a treia este utilă când timpul nu este cerut sau cunoscut. Nu sunt trei modele diferite: descriu aceeași mișcare în aceleași ipoteze.

Date cunoscute	Relație potrivită	Atenție
Viteză inițială, accelerație, durată	v = v₀ + aτ	Vitezele au semn
Poziție inițială, viteză inițială, durată	x = x₀ + v₀τ + aτ²/2	Pătratul se aplică duratei
Viteze și deplasare	v² − v₀² = 2aΔx	Pătratul nu păstrează sensul vitezei

Ce înseamnă accelerație constantă?

În intervale egale, componenta vitezei se modifică cu aceeași cantitate. Dacă accelerația este doi metri pe secundă la pătrat, viteza cu semn crește cu doi metri pe secundă în fiecare secundă. Aceasta nu înseamnă că distanța parcursă în fiecare secundă este aceeași.

O accelerație pozitivă poate încetini un mobil care se deplasează în sens negativ. De exemplu, viteza minus șase devine minus patru și apoi minus doi, iar modulul ei scade. După trecerea prin zero, aceeași accelerație pozitivă mărește viteza în sens pozitiv. Analiza trebuie să urmărească ambele semne.

Exemplu direct: poziție și viteză

Un mobil are la momentul zero coordonata de cinci metri și viteza de patru metri pe secundă. Accelerația este doi metri pe secundă la pătrat, constantă. După trei secunde, viteza este 4 + 2 × 3 = 10 m/s.

Deplasarea este 4 × 3 + 2 × 3²/2 = 21 m. Coordonata finală este 5 + 21 = 26 m. Numărul douăzeci și unu nu este poziția finală față de originea aleasă, deoarece mobilul nu a pornit din origine.

Controlul cu relația fără timp dă 10² − 4² = 84, iar 2 × 2 × 21 = 84. Egalitatea verifică datele. Nu folosim viteza finală de zece metri pe secundă pe întregul interval, deoarece ea a fost atinsă abia la final.

Deplasarea din viteza medie pe interval

Pentru accelerație constantă, media componentelor vitezelor de la capete este viteza vectorială medie pe interval: (v₀ + v)/2. În exemplul anterior, media este șapte metri pe secundă, iar înmulțirea cu trei secunde reproduce deplasarea de douăzeci și unu de metri.

Această relație nu se aplică automat unei mișcări cu accelerație variabilă. Două valori ale vitezei la capete nu determină singure forma evoluției dintre ele. De asemenea, dacă există schimbare de sens, produsul oferă deplasarea cu semn, nu neapărat distanța totală parcursă.

Problemă inversă: determinarea duratei

Un mobil pornește din origine cu trei metri pe secundă și accelerație de doi metri pe secundă la pătrat. Se cere momentul la care ajunge la coordonata optsprezece metri, pentru mișcarea de după pornire. Legea poziției conduce la 18 = 3t + t².

Ecuația t² + 3t − 18 = 0 are rădăcinile trei și minus șase. Durata fizică de după pornire este trei secunde. Rădăcina negativă aparține prelungirii matematice a parabolei, nu intervalului fizic declarat.

Verificăm prin înlocuire: 3 × 3 + 3² = 18. Viteza în acel moment este nouă metri pe secundă. Alegerea rădăcinii nu se face doar după preferința pentru numere pozitive; se confruntă cu originea timpului și domeniul din enunț.

Frânare până la oprire

Un cărucior are viteza inițială de doisprezece metri pe secundă și accelerație constantă minus trei metri pe secundă la pătrat, până la oprire. Din zero egal cu doisprezece minus trei ori timpul rezultă patru secunde. Deplasarea până la oprire este 12 × 4 − 3 × 4²/2 = 24 m.

Relația fără timp oferă același rezultat: zero minus 144 este egal cu minus șase ori deplasarea. Rezultă douăzeci și patru de metri. Semnele negative din ecuație se compensează, dar nu trebuie eliminate înainte de calcul.

Dacă enunțul spune că forța de frânare încetează la oprire și corpul rămâne în repaus, nu continuăm automat legea v = 12 − 3t după secunda patru. Acea continuare ar descrie pornirea în sens opus sub aceeași accelerație, o altă situație fizică.

Determinarea accelerației din poziții

Un mobil pleacă din repaus, din origine, și parcurge optsprezece metri în trei secunde, cu accelerație constantă. Legea poziției se reduce la 18 = a × 9/2, deci accelerația este patru metri pe secundă la pătrat. Viteza finală este doisprezece metri pe secundă.

Dacă mobilul ar fi avut viteză inițială nenulă, aceeași distanță și durată nu ar determina singure accelerația fără acea viteză. Termenul v₀t nu poate fi omis doar pentru a simplifica algebra. Fiecare reducere a formulei trebuie justificată prin date.

Unități și controale rapide

Termenul v₀τ are unitatea metru, iar aτ² are tot unitatea metru. Cei doi termeni pot fi adunați ca deplasări. Dacă înlocuiești accidental aτ în formula poziției, obții metri pe secundă, ceea ce semnalează o eroare dimensională.

Conversia vitezelor se face înainte de calcul: treizeci și șase de kilometri pe oră înseamnă zece metri pe secundă. Dacă timpul este în secunde și accelerația în unități SI, toate vitezele trebuie exprimate compatibil. Păstrează suficiente cifre în calculele intermediare și rotunjește la final.

Exerciții cu soluții

1. Din repaus, cu accelerație de trei metri pe secundă la pătrat, cât parcurge mobilul în două secunde? Șase metri, deoarece termenul vitezei inițiale este zero. Viteza finală este șase metri pe secundă, o mărime diferită chiar dacă numărul coincide.

2. Un mobil are v₀ egal cu minus patru și accelerație plus doi, în unități SI. Când se oprește instantaneu? La două secunde. Dacă accelerația continuă, ulterior pornește în sens pozitiv; oprirea instantanee nu înseamnă repaus permanent.

3. Pentru v₀ egal cu cinci, a egal cu doi și deplasare de douăzeci și patru de metri, cât este modulul vitezei finale? Din v² = 25 + 96 rezultă unsprezece metri pe secundă. Sensul se verifică din evoluția cu accelerație pozitivă după pornire.

4. Putem afla distanța numai din două viteze și durata, fără ipoteză despre evoluție? Nu în general. Media aritmetică a vitezelor de la capete cere modelul de accelerație constantă pentru deplasarea analizată.

Compară aceste tipuri de cerințe în subiectele de BAC. Înțelegerea ipotezelor unei formule ajută la alegerea relației potrivite. Un profesor de fizică poate verifica mai ales domeniul timpului și alegerea rădăcinilor.

Întrebări frecvente

Accelerația negativă înseamnă întotdeauna încetinire?

Nu. Compară sensul vitezei cu sensul accelerației. Semne egale măresc modulul vitezei, iar semne opuse îl reduc până la eventuala oprire.

Relația cu pătratul vitezei arată sensul final?

Nu singură. Pătratul pierde semnul, deci sensul se stabilește din celelalte date și din intervalul fizic.

Pot folosi formulele după impactul cu un obstacol?

Nu fără un nou model pentru contact și mișcarea ulterioară. Ecuațiile sunt valabile numai pe intervalul în care accelerația declarată descrie sistemul.

Reper curricular

Viteza, accelerația și modelul punctului material apar în modulul Mecanică din programa oficială istorică de fizică. Nu presupunem o actualizare anuală neverificată.