Puterea maximă pe rezistor: condiția R = r la BAC

Puterea primită de un rezistor alimentat de o sursă reală nu crește continuu când micșorezi rezistența. La o sarcină foarte mică, tensiunea la borne scade; la o sarcină foarte mare, curentul devine mic. Între aceste două situații există o valoare pentru care puterea exterioară este maximă.

Lecția este o aplicație a puterii electrice și a legii lui Ohm pentru întregul circuit, în modulul Curent continuu, pentru profilurile real, militar și tehnologic. Folosim E constant, rezistență internă r pozitivă și o sarcină rezistivă variabilă R. Demonstrația algebrică nu cere derivate.

Formula puterii pe sarcină

Curentul circuitului este I = E/(R + r). Puterea exterioară este P = I²R, deci P = E²R/(R + r)². Această formulă conține atât efectul rezistenței sarcinii, cât și modificarea curentului produsă de ea.

Dacă ai utiliza P = E²/R, ai presupune implicit că tensiunea pe sarcină este E. Aceasta ar fi o sursă ideală, cu r = 0. În problema de față, tensiunea exterioară este U = ER/(R + r), iar rezistența internă nu poate fi omisă.

Înainte de optimizare, stabilește ce este fix și ce variază. E și r sunt proprietățile modelului sursei, iar R este variabila. Dacă ai modifica simultan sursa, concluzia despre maxim nu ar mai răspunde aceleiași probleme.

Demonstrația printr-un pătrat pozitiv

Pentru R și r pozitive, pătratul (R − r)² este mai mare sau egal cu zero. Dezvoltând, obținem R² − 2Rr + r² ≥ 0. Adăugând 4Rr, rezultă (R + r)² ≥ 4Rr.

Împărțind E²R la aceste expresii pozitive, obținem P = E²R/(R + r)² ≤ E²/(4r). Egalitatea are loc numai când R − r = 0, adică R = r.

Prin urmare, puterea exterioară maximă este P_max = E²/(4r). Condiția este numită adaptarea sarcinii la rezistența internă în acest model rezistiv. Nu este o regulă de randament maxim și nu recomandă automat un regim practic de funcționare pentru orice sursă reală.

Ce se întâmplă la punctul de maxim

Când R = r, rezistența totală este 2r. Curentul este I = E/(2r). Tensiunea pe sarcină este U = Ir = E/2. Cealaltă jumătate a tensiunii electromotoare cade pe rezistența internă.

Puterea exterioară și puterea internă sunt egale, deoarece același curent trece prin două rezistențe egale. Randamentul electric este R/(R + r) = 1/2, adică 50%.

Mărime la putere exterioară maximă	Rezultat
Sarcina	R = r
Curentul	E/(2r)
Tensiunea la borne	E/2
Puterea exterioară	E²/(4r)
Puterea internă	Egală cu puterea exterioară
Randamentul	50%

Acest tabel permite verificarea rapidă a unui rezultat. Dacă o rezolvare declară simultan R = r și randament de 90%, cele două afirmații nu sunt compatibile cu modelul analizat.

Exemplu numeric și comparație între sarcini

O sursă are E = 12 V și r = 2 Ω. Puterea maximă apare la R = 2 Ω și are valoarea 144/8 = 18 W. Curentul este 3 A, iar tensiunea la borne este 6 V.

Pentru R = 1 Ω, curentul este 4 A și puterea exterioară este 16 W. Curentul este mai mare decât la adaptare, dar puterea pe sarcină este mai mică. Pentru R = 4 Ω, curentul este 2 A și puterea este tot 16 W.

Cele două sarcini de 1 Ω și 4 Ω primesc aceeași putere, însă au randamente diferite: 1/3 și 2/3. Puterea egală nu implică intensități egale, tensiuni egale sau aceeași disipare internă.

Pentru R = 18 Ω, curentul este 0,6 A, puterea exterioară este 6,48 W, iar randamentul este 90%. Randamentul este mai bun, dar puterea transferată este mult sub maximul de 18 W. Cerința problemei decide ce mărime trebuie optimizată.

De ce există două sarcini cu aceeași putere

Pentru aceeași sursă, două rezistențe distincte R₁ și R₂ pot produce aceeași putere dacă produsul lor este r². Relația se deduce egalând R₁/(R₁ + r)² cu R₂/(R₂ + r)² și simplificând cazul R₁ diferit de R₂.

O verificare mai ușoară folosește forma P = E²/[R + 2r + r²/R]. Înlocuirea lui R cu r²/R păstrează numitorul. În exemplul anterior, 1 × 4 = 2², ceea ce explică puterile egale.

Aceasta este o extensie algebrică utilă pentru probleme inverse. Nu este necesar să o memorezi ca formulă izolată: o poți verifica direct în expresia puterii. La maxim, cele două valori coincid și devin R = r.

Limitele pentru sarcini mici și mari

Când R tinde spre zero, puterea exterioară tinde spre zero, deși curentul se apropie de E/r. Sarcina idealizată ca fir are tensiune zero și nu primește putere rezistivă în model. Energia se disipă intern.

Când R crește foarte mult, curentul tinde spre zero și puterea exterioară tinde din nou spre zero. Tensiunea la borne se apropie de E, însă produsul UI rămâne mic deoarece intensitatea scade.

Aceste limite oferă o imagine calitativă a graficului: puterea pornește de la zero, crește până la maxim și apoi scade. Nu trebuie să desenezi o parabolă; funcția este rațională și nu are forma unei parabole simple.

Probleme inverse și exerciții

Exercițiul 1. O sursă are E = 20 V și r = 5 Ω. Determină sarcina de putere maximă, puterea și curentul.

Sarcina este 5 Ω. Puterea maximă este 400/(4 × 5) = 20 W. Curentul este 20/(2 × 5) = 2 A, iar tensiunea la borne este 10 V. Puterea internă este tot 20 W.

Exercițiul 2. Puterea maximă pe o sarcină este 9 W, iar tensiunea electromotoare este 12 V. Determină rezistența internă.

Din P_max = E²/(4r), rezultă r = E²/(4P_max) = 144/36 = 4 Ω. Sarcina corespunzătoare maximului este tot 4 Ω. Curentul de adaptare este 1,5 A.

Exercițiul 3. Pentru o sursă cu r = 3 Ω, o sarcină de 1 Ω și o a doua sarcină distinctă primesc aceeași putere. Care este a doua rezistență?

Produsul trebuie să fie r² = 9 Ω², deci a doua sarcină este 9 Ω. Poți verifica egalitatea prin expresiile 1/(1 + 3)² și 9/(9 + 3)², ambele egale cu 1/16 în unitățile corespunzătoare.

Exercițiul 4. Pentru randament de 75%, ce relație există între R și r? Este punctul de putere maximă?

Din R/(R + r) = 3/4 rezultă R = 3r. Nu este punctul de putere maximă, care cere R = r. La această sarcină, puterea este trei sferturi din maxim, deoarece raportul 4rR/(R + r)² devine 3/4.

Antrenament pentru examen

Începe prin a scrie expresia puterii pe elementul cerut, nu puterea totală a sursei. Verifică ipotezele și aplică metoda pe subiectele de BAC. Compararea puterii cu randamentul este un bun exercițiu de înțelegere conceptuală. Dacă problema inversează cerința, un profesor de fizică te poate ajuta să alegi necunoscuta potrivită.

Întrebări frecvente

Puterea maximă înseamnă curent maxim?

Nu. Curentul maxim al modelului apare la scurtcircuit, unde puterea exterioară este zero. Puterea maximă pe sarcină apare la R = r.

Randamentul este maxim la R = r?

Nu. Este 50%. Randamentul crește pentru sarcini mai mari, dar puterea exterioară scade după punctul de adaptare.

Formula se aplică unei surse ideale cu r = 0?

Nu în această formă de maxim finit. Pentru r = 0, modelul produce P = E²/R, fără maxim finit pentru R pozitiv care poate scădea arbitrar. Ipoteza r pozitiv este esențială.

Surse

Aplicația se bazează pe noțiunile din programa oficială și pe modelul sursei reale verificat în OpenStax. Demonstrația și exercițiile sunt formulate original.