Rapoarte și proporții: proprietăți și exemple rezolvate

Capitolul despre rapoarte și proporții se studiază în clasa a VI-a și este unul dintre cele mai folosite din toată matematica de gimnaziu. Pe el se sprijină procentele, scara hărților, probabilitățile, asemănarea triunghiurilor și o bună parte din fizică și chimie. Ideea de bază încape într-un rând: un raport compară două mărimi prin împărțire, iar o proporție spune că două rapoarte sunt egale. Mai jos găsești noțiunile, proprietățile și exemple rezolvate.

Pe scurt:

• Raportul numerelor a și b este a / b, cu b diferit de 0.

• Proporția este egalitatea a două rapoarte: a / b = c / d.

• Proprietatea fundamentală: a · d = b · c. Produsul extremilor este egal cu produsul mezilor.

• Un termen necunoscut se află din această proprietate.

• Șir de rapoarte egale: fiecare raport este egal cu suma numărătorilor supra suma numitorilor.

Ce este un raport?

Raportul a două numere, a și b, este câtul lor, a / b, cu b diferit de zero. Arată de câte ori este mai mare o mărime decât cealaltă sau ce parte din ea reprezintă.

Exemplu. Într-o clasă sunt 12 băieți și 18 fete.

• raportul dintre numărul băieților și cel al fetelor este 12 / 18 = 2 / 3

• raportul dintre numărul băieților și numărul total de elevi este 12 / 30 = 2 / 5

Două lucruri de reținut:

• ordinea contează. Raportul fetelor față de băieți este 3 / 2, nu 2 / 3;

• mărimile de același fel se exprimă în aceeași unitate. Raportul dintre 50 cm și 2 m este 50 / 200 = 1 / 4, nu 50 / 2.

Multe noțiuni cunoscute sunt, de fapt, rapoarte: viteza este raportul dintre distanță și timp, densitatea este raportul dintre masă și volum, iar procentul este un raport cu numitorul 100.

Ce este o proporție?

Este egalitatea a două rapoarte:

a / b = c / d

Cele patru numere se numesc termenii proporției:

• a și d sunt extremii;

• b și c sunt mezii.

Exemplu: 2 / 3 = 8 / 12. Extremii sunt 2 și 12, iar mezii sunt 3 și 8.

Care este proprietatea fundamentală?

Într-o proporție, produsul extremilor este egal cu produsul mezilor:

a · d = b · c

Pentru 2 / 3 = 8 / 12: 2 · 12 = 24 și 3 · 8 = 24.

Proprietatea are două folosiri:

• verifici dacă două rapoarte formează o proporție;

• afli un termen necunoscut.

Cum afli un termen necunoscut?

Aplici proprietatea fundamentală și rezolvi ecuația obținută.

Exemplul 1. x / 6 = 10 / 15

• 15 · x = 6 · 10

• 15x = 60

• x = 4

Exemplul 2. 3 / x = 9 / 12

• 9 · x = 3 · 12

• 9x = 36

• x = 4

Regula practică: un extrem necunoscut este produsul mezilor împărțit la celălalt extrem. Un mez necunoscut este produsul extremilor împărțit la celălalt mez.

Ce sunt proporțiile derivate?

Din proporția a / b = c / d se pot obține altele, tot adevărate.

Cu aceiași termeni:

• schimbi mezii între ei: a / c = b / d

• schimbi extremii între ei: d / b = c / a

• inversezi ambele rapoarte: b / a = d / c

Cu termeni schimbați:

• (a + b) / b = (c + d) / d

• (a − b) / b = (c − d) / d

• a / (a + b) = c / (c + d)

Verificare pe 2 / 3 = 8 / 12: (2 + 3) / 3 = 5 / 3 și (8 + 12) / 12 = 20 / 12 = 5 / 3.

Ce este un șir de rapoarte egale?

Trei sau mai multe rapoarte egale între ele formează un șir de rapoarte egale. Proprietatea lui:

a / b = c / d = e / f = (a + c + e) / (b + d + f)

De aici vine metoda cea mai folosită: notezi valoarea comună a rapoartelor cu k și exprimi toate necunoscutele în funcție de k.

Exemplul 3. Află x, y și z, știind că x / 2 = y / 3 = z / 5 și x + y + z = 40.

• x = 2k, y = 3k, z = 5k

• 2k + 3k + 5k = 40

• 10k = 40, deci k = 4

• x = 8, y = 12, z = 20

Ce sunt mărimile direct și invers proporționale?

Direct proporționale. Două șiruri de numere sunt direct proporționale dacă rapoartele termenilor corespunzători sunt egale. Numerele x și y sunt direct proporționale cu a și b dacă x / a = y / b.

Invers proporționale. Numerele x și y sunt invers proporționale cu a și b dacă produsele sunt egale: x · a = y · b.

Exemplul 4, direct. Împarte 120 de lei în trei părți, direct proporționale cu 2, 3 și 5.

• părțile sunt 2k, 3k și 5k

• 10k = 120, deci k = 12

• părțile sunt 24, 36 și 60 de lei

Exemplul 5, invers. Împarte 60 în două părți, invers proporționale cu 2 și 3.

• 2x = 3y, deci x = 3k și y = 2k

• 5k = 60, deci k = 12

• părțile sunt 36 și 24

Observă logica: la împărțirea invers proporțională, numărului mai mic îi revine partea mai mare.

Unde întâlnești rapoartele în practică?

Scara unei hărți. Scara 1:100.000 înseamnă că 1 cm pe hartă corespunde la 100.000 cm în teren, adică 1 km. O distanță de 4 cm pe hartă înseamnă 4 km.

Rețete și amestecuri. Dacă o rețetă cere făină și apă în raportul 2 / 3, la 400 g de făină pui 600 g de apă.

Procente. A spune că 25% dintre elevi poartă ochelari înseamnă că raportul dintre ei și total este 25 / 100, adică 1 / 4.

Probleme cu raport și sumă. Raportul a două numere este 3 / 5, iar suma lor este 64. Află numerele.

• numerele sunt 3k și 5k

• 8k = 64, deci k = 8

• numerele sunt 24 și 40

Care sunt greșelile cele mai frecvente?

1. Raportul scris invers. Citește cu atenție ordinea din enunț.

2. Unități diferite. Transformă mărimile în aceeași unitate înainte de a scrie raportul.

3. Extremii și mezii încurcați. În a / b = c / d, extremii sunt primul și ultimul termen.

4. Înmulțirea „pe linie” în loc de „în cruce”. Proprietatea fundamentală leagă a de d și b de c.

5. Direct în loc de invers. La mărimile invers proporționale sunt egale produsele, nu rapoartele.

6. Raportul nesimplificat. 12 / 18 se scrie 2 / 3.

7. Parte din întreg confundată cu parte din parte. Raportul băieților față de fete este altul decât raportul băieților față de toți elevii.

Unde apar la școală?

În clasa a VI-a, împreună cu procentele și cu regula de trei simplă. Se folosesc apoi la Evaluarea Națională, în problemele cu text, în clasa a VII-a, la teorema lui Thales și la asemănare, și în tot ce înseamnă fizică și chimie.

Dacă ai un copil care se încurcă la aceste probleme, semnele că are nevoie de ajutor sunt descrise în articolul despre când este momentul potrivit pentru meditații.

Pe pagina de meditații la matematică vezi anunțurile profesorilor, cu nivelul la care lucrează, prețul și durata, iar pe cea de meditații pentru Evaluarea Națională compari profilurile. Pe Hola25 poți rezerva o lecție de probă de 25 sau 50 de minute, cu prețul afișat înainte de plată. Lecția are loc în sala de lecții Hola25, pe o tablă comună. Anunțurile sunt publicate de profesori, iar platforma nu le verifică studiile sau experiența declarată.

Întrebări frecvente

Ce este un raport?

Câtul a două numere, a / b, cu b diferit de zero. Arată de câte ori este mai mare o mărime decât alta sau ce parte din ea reprezintă.

Ce este o proporție?

Egalitatea a două rapoarte: a / b = c / d.

Care este proprietatea fundamentală a proporțiilor?

Produsul extremilor este egal cu produsul mezilor: a · d = b · c.

Cum aflu un termen necunoscut dintr-o proporție?

Aplic proprietatea fundamentală și rezolv ecuația. Pentru x / 6 = 10 / 15, rezultă 15x = 60, deci x = 4.

Care este diferența dintre mărimile direct și cele invers proporționale?

La cele direct proporționale sunt egale rapoartele. La cele invers proporționale sunt egale produsele.