Șirul Fibonacci: regulă, exemple și probleme

În șirul Fibonacci, fiecare termen nou este suma celor doi termeni anteriori. Folosind convenția $F_0=0$ și $F_1=1$, obții 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 și așa mai departe. Regula are nevoie de două valori inițiale, nu doar de formula de adunare.

Numărul 13, de exemplu, apare după 5 și 8. Următorul termen este 21, deoarece aduni 8 și 13. Nu adaugi mereu aceeași cantitate și nici nu dublezi termenul precedent. Aceasta este diferența care îl separă de progresiile aritmetice și geometrice.

Cum numerotezi termenii fără să îi deplasezi?

În convenția folosită aici, zero are indicele zero. Primul unu are indicele unu, iar al doilea unu are indicele doi. Tabelul face explicită corespondența:

Indice	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Termen	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55

Unele materiale încep lista direct cu 1, 1 și numerotează de la unu. Valorile pozitive continuă în aceeași ordine, dar trebuie să citești convenția înainte să răspunzi la o întrebare despre „al zecelea termen”.

Pe foaie, scrie cele două valori de pornire și definiția indicilor. Astfel, o diferență de poziție nu devine o presupusă greșeală de calcul. Notația este parte din datele problemei, nu un detaliu pe care îl alegi după ce ai terminat.

Cum construiești șirul pas cu pas?

Păstrează la fiecare etapă ultima pereche de termeni. Din perechea 13 și 21, calculezi 34. Noua pereche devine 21 și 34. Din ea calculezi 55, iar apoi păstrezi 34 și 55.

Acest mod de lucru previne o greșeală frecventă: să aduni mereu termenul nou cu aceeași valoare veche. Dacă după 13 și 21 ai scrie 34, apoi 47, ai păstra incorect 13 în loc să actualizezi perechea.

Relația generală este $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ pentru indici cel puțin egali cu doi. Ea arată dependența dintre trei termeni vecini. Nu oferă direct valoarea unui termen îndepărtat fără să folosești alte informații sau un calcul suplimentar.

Pentru a controla o listă, verifică fiecare grup de trei vecini. La 21, 34, 55 relația este corectă. La 34, 55, 90 nu este: suma primelor două este 89. Ai localizat prima eroare înainte ca ea să se propage în restul listei.

Ce se întâmplă dacă schimbi primele două valori?

Pornește cu 3 și 4, folosind aceeași regulă. Obții 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47. Acesta este un șir de tip Fibonacci, însă nu șirul standard definit la începutul articolului.

Regula singură nu determină lista. Valorile inițiale sunt necesare pentru a ști ce aduni prima dată. Două șiruri pot respecta aceeași relație și totuși să aibă toți termenii diferiți.

Poți vedea dependența și simbolic. Dacă primele valori sunt $a$ și $b$, următoarele sunt $a+b$, $a+2b$, $2a+3b$ și $3a+5b$. Coeficienții apar din adunarea expresiilor vecine, nu din alegerea lor după un tipar vizual.

Pentru $a=3$ și $b=4$, al șaselea termen al acestei liste este $3\cdot3+5\cdot4=29$. Verificarea coincide cu calculul direct. Dacă parantezele și adunarea termenilor asemănători îți creează dificultăți, poți revedea bazele de calcul pentru matematică.

Poți merge înapoi într-un șir de tip Fibonacci?

Da, dacă știi doi termeni consecutivi și păstrezi ordinea lor. Termenul anterior este diferența dintre al doilea și primul. Dacă doi vecini sunt 18 și 29, înaintea lui 18 se află 11, deoarece $11+18=29$.

Continuând înapoi, obții 7, apoi 4 și 3. Ai recuperat șirul din exemplul anterior. Scăderea se face în ordinea potrivită: termenul mai nou minus termenul imediat anterior.

Un singur termen nu este suficient. Numărul 29 poate urma după 11 și 18, dar și după 12 și 17 într-un alt șir de același tip. Fără o valoare vecină sau alte condiții, nu există o reconstrucție unică.

De ce fiecare al treilea termen standard este par?

Începând cu indicii unu și doi, ai două valori impare. Suma lor este pară. Apoi impar plus par este impar, iar par plus impar este impar. Ai revenit la o pereche de valori impare și modelul se repetă.

Succesiunea parităților este deci impar, impar, par, apoi din nou impar, impar, par. Cu numerotarea de aici, termenii de indici 3, 6, 9, 12 și așa mai departe sunt pari. Termenul de indice zero este și el par.

De exemplu, $F_{12}=144$ este par, iar $F_{13}=233$ este impar. Pentru a decide paritatea unui termen cu indice mare, nu trebuie să îi calculezi toate cifrele. Este suficient să urmărești poziția în grupurile de trei.

Această demonstrație folosește perechi de parități. Observarea primelor nouă valori sugerează modelul, dar repetarea perechii explică de ce el continuă. Este o aplicație a diferenței dintre memorare și înțelegere.

Cum apare șirul la urcarea unei scări?

Ai voie să urci o treaptă sau două la fiecare pas. Ordinea pașilor contează: pentru trei trepte, variantele sunt 1–1–1, 1–2 și 2–1, deci trei posibilități.

Notează cu $A_n$ numărul variantelor pentru o scară cu $n$ trepte. Orice variantă se termină fie cu un pas de o treaptă, fie cu unul de două trepte. În primul caz, înaintea ultimului pas ai ajuns la treapta precedentă. În al doilea, la treapta aflată cu două mai jos.

Cele două categorii sunt distincte, deci $A_n=A_{n-1}+A_{n-2}$. Pentru o treaptă există o variantă, iar pentru două există două: 1–1 și 2. Rezultă 1, 2, 3, 5, 8, 13 pentru scări de la una la șase trepte.

Acesta este șirul Fibonacci deplasat cu o poziție: $A_n=F_{n+1}$. Pentru șase trepte ai 13 variante, nu opt. Valorile inițiale și indicii explică diferența.

Cum verifici un exemplu de numărare?

Pentru patru trepte, poți enumera toate variantele: 1–1–1–1, 1–1–2, 1–2–1, 2–1–1 și 2–2. Sunt cinci, conform relației. Lista confirmă și că nu ai confundat ordinea cu o simplă alegere a tipurilor de pași.

Dacă ai permite și salturi de trei trepte, relația ar avea o categorie suplimentară pentru ultimul pas. Nu mai poți folosi automat aceeași formulă. La problemele de numărare, regulile mișcării determină recurența.

Poți explica acest exemplu unui profesor din anunțurile pentru meditații la matematică prin cele două categorii ale ultimului pas. Obiectivul este să justifici de ce aduni, nu doar să reciți lista de valori.

Exerciții cu răspunsuri explicate

1. Completează după 34 și 55. Următorii doi termeni sunt 89 și 144.
2. Un șir de același tip începe cu 2 și 5. Primii șase termeni sunt 2, 5, 7, 12, 19, 31.
3. Doi termeni consecutivi sunt 47 și 76. Termenul anterior este 29.
4. Este termenul standard de indice 30 par? Da, deoarece indicele este multiplu de trei.
5. În câte moduri urci șapte trepte, câte una sau două? În 21 de moduri, suma dintre 13 și opt.

Întrebări frecvente

Regula este „adun unu, apoi doi, apoi trei”?

Nu. Aduni întotdeauna ultimii doi termeni. Diferența dintre vecini se schimbă odată cu șirul.

Orice șir care începe cu 1 și 1 este Fibonacci?

Nu. Trebuie să respecte aceeași regulă la fiecare pas. Primele două valori fără regula de continuare nu stabilesc un șir unic.

Unde pot explora relații între termenii șirului?

Activitatea NRICH Fibonacci Surprises propune investigații algebrice. Exemplele cu valori inițiale, paritate și scări de aici sunt construite separat.