Rezistența și temperatura: coeficientul α la BAC

Rezistența electrică a unui conductor poate varia când temperatura lui se schimbă. În problemele de BAC, această dependență este adesea aproximată printr-o relație liniară. Ca să o aplici corect, trebuie să identifici temperatura de referință, coeficientul corespunzător și diferența de temperatură, nu să introduci automat temperatura finală în formulă.

Lecția aparține modulului Curent continuu, pentru profilurile real, militar și tehnologic. Analizăm dependența rezistivității și a rezistenței de temperatură, în modelul liniar precizat de enunț. Exercițiile nu presupun comportament liniar la orice temperatură și nu confundă un conductor metalic cu toate materialele posibile.

Formula și sensul fiecărui simbol

Pentru un conductor ale cărui modificări geometrice sunt neglijabile, folosim R = R₀[1 + α(t − t₀)]. R₀ este rezistența la temperatura de referință t₀, iar R este rezistența la temperatura finală t. Coeficientul α este raportat la aceeași stare de referință.

Unitatea coeficientului este inversul unui interval de temperatură: K⁻¹ sau °C⁻¹. Diferența t − t₀ are aceeași valoare numerică în grade Celsius și în kelvini. Nu adaugi 273,15 unei diferențe de temperatură. Dacă temperatura crește de la 20 °C la 70 °C, creșterea este 50 °C, adică 50 K.

Pentru rezistivitate, relația corespunzătoare este ρ = ρ₀[1 + α(t − t₀)]. Trecerea la formula rezistenței folosește R = ρl/S și ipoteza că raportul geometric l/S rămâne practic constant. Dacă enunțul cere explicit dilatarea, aceasta trebuie tratată separat.

Simbol	Semnificație	Eroare de evitat
R₀	Rezistența la temperatura t₀	Nu este obligatoriu rezistența la zero grade
α	Coeficient raportat la t₀	Nu se înlocuiește cu o creștere procentuală
t − t₀	Variația temperaturii	Nu este temperatura finală
α(t − t₀)	Variația relativă a rezistenței	Este o mărime fără unitate

Ce spune semnul coeficientului

Pentru multe metale, α este pozitiv într-un interval obișnuit de temperatură. Încălzirea conduce atunci la creșterea rezistenței. În modelul microscopic, agitația termică mai intensă a rețelei cristaline îngreunează deplasarea ordonată a purtătorilor de sarcină.

Există și materiale cu coeficient negativ, pentru care rezistența scade când temperatura crește. Nu deduce semnul numai din cuvântul „conductor”; folosește materialul și datele problemei. Relația liniară este o aproximare locală, iar comportamentul semiconductorilor poate necesita modele mai detaliate.

Un rezultat negativ pentru rezistență, obținut prin extrapolarea formulei la temperaturi îndepărtate, nu descrie o rezistență obișnuită reală. El indică depășirea domeniului de validitate sau o eroare în date și semne. Modelul nu poate fi extins fără limită.

Problemă directă: rezistență și curent

Un conductor are R₀ = 50 Ω la t₀ = 20 °C. Coeficientul său este α = 0,004 °C⁻¹, considerat constant în intervalul analizat. Determină rezistența la 80 °C și curentul dacă tensiunea la capete este menținută la 12 V.

Variația temperaturii este 60 °C. Produsul αΔt este 0,24, deci rezistența crește cu 24% față de valoarea de referință. Rezultă R = 50 × 1,24 = 62 Ω. Curentul este I = 12/62 A, aproximativ 0,194 A.

La temperatura inițială, curentul ar fi fost 12/50 = 0,24 A. Încălzirea a redus curentul deoarece tensiunea a rămas constantă, iar rezistența a crescut. Scăderea procentuală a curentului nu este exact 24%, fiindcă intensitatea este invers proporțională cu rezistența, nu liniar descrescătoare cu același procent.

Dacă enunțul ar menține curentul constant, tensiunea necesară ar crește odată cu rezistența. Condiția de alimentare trebuie citită înainte de concluziile despre curent sau putere.

Problemă inversă: temperatura din rezistență

Un senzor idealizat are 100 Ω la 0 °C și coeficientul α = 0,004 °C⁻¹. Rezistența măsurată este 132 Ω. În modelul liniar, raportul R/R₀ este 1,32. Din relație rezultă t − t₀ = (R/R₀ − 1)/α.

Obținem Δt = 0,32/0,004 = 80 °C, deci temperatura este 80 °C. Ordinea operațiilor este importantă: scazi unitatea din raport, apoi împarți la coeficient. Împărțirea directă a rezistenței la α nu are sens dimensional pentru determinarea temperaturii.

Acest exercițiu descrie principiul unui termometru rezistiv în model simplificat. Într-o măsurare reală ar conta calibrarea, domeniul senzorului și încălzirea produsă de curentul de măsurare. La BAC folosești ipotezele din enunț, fără să introduci corecții care nu sunt cerute.

Determinarea coeficientului din două stări

Un fir are 40 Ω la 10 °C și 48 Ω la 60 °C. Dacă alegem prima stare ca referință, coeficientul este α = (48 − 40)/(40 × 50) = 0,004 °C⁻¹. Numitorul conține rezistența de referință, nu valoarea finală.

Panta graficului R în funcție de t este ΔR/Δt = 8/50 = 0,16 Ω/°C. Ea nu este egală cu α, ci cu R₀α. Pentru a obține coeficientul, împarți panta la rezistența corespunzătoare temperaturii de referință.

Dacă schimbi referința la 60 °C, coeficientul relativ asociat acelei referințe devine 0,16/48, aproximativ 0,00333 °C⁻¹. Panta dreptei rămâne aceeași, dar normalizarea se schimbă. Nu poți schimba R₀ și t₀ păstrând mecanic același α dacă urmărești aceeași dreaptă exactă.

Puterea: două condiții diferite

La tensiune constantă, puterea disipată este P = U²/R. Dacă rezistența crește, puterea scade. La curent constant, puterea este P = I²R și crește odată cu rezistența. Cele două concluzii sunt compatibile, deoarece descriu alimentări diferite.

În problemele în care temperatura rezultă chiar din încălzirea electrică, ar fi necesar și un bilanț termic. Formula dependenței rezistenței nu determină singură temperatura finală de echilibru. Nu presupune o temperatură doar pentru că ai calculat o putere.

Exerciții cu soluții

Exercițiul 1. R₀ = 25 Ω la 20 °C, α = 0,004 °C⁻¹. Care este rezistența la 45 °C?

Creșterea temperaturii este 25 °C. Factorul este 1 + 0,004 × 25 = 1,1. Rezistența finală este 27,5 Ω, adică o creștere de 10%.

Exercițiul 2. Un conductor trece de la 200 Ω la 220 Ω, iar coeficientul raportat la starea inițială este 0,002 K⁻¹. Cu cât s-a modificat temperatura?

Variația relativă este 20/200 = 0,1. Împărțind la coeficient, obținem 50 K. Dacă temperatura inițială este 15 °C, temperatura finală este 65 °C.

Exercițiul 3. Un material are α = −0,001 °C⁻¹ în intervalul dat și R₀ = 80 Ω. Temperatura crește cu 30 °C. Ce rezistență rezultă?

Factorul este 1 − 0,03 = 0,97. Rezistența devine 77,6 Ω. Semnul negativ al coeficientului explică scăderea; nu trebuie înlocuit cu valoarea sa absolută.

Pregătirea rezolvării de examen

Scrie lângă formulă temperatura de referință și verifică unitatea lui α. Apoi decide dacă problema fixează tensiunea, curentul sau numai temperatura. Aplică metoda pe subiecte de BAC, urmărind ce ipoteze se păstrează între stări.

Explicarea sensului pantei este mai utilă decât memorarea unei liste, așa cum arată și diferența dintre a memora și a înțelege. Un profesor de fizică poate verifica rapid dacă eroarea provine din referință, procent sau condiția electrică.

Întrebări frecvente

Trebuie să convertesc temperaturile în kelvini?

Nu este necesar pentru diferența de temperatură, dacă valorile sunt folosite consecvent. Diferențele în kelvini și în grade Celsius au aceeași valoare numerică.

R₀ înseamnă întotdeauna rezistența la 0 °C?

Nu. Indicele marchează starea de referință. Aceasta poate fi la 0 °C, 20 °C sau altă temperatură precizată în enunț.

Formula este exactă pentru orice material?

Nu. Este modelul liniar valabil într-un interval specificat sau aproximat. Datele și ipotezele problemei stabilesc unde îl poți utiliza.

Surse

Tema este încadrată în programa oficială de fizică. Dependența liniară și limitele ei sunt verificate în OpenStax, rezistivitate și rezistență. Exemplele numerice sunt originale.