Transformarea adiabatică: relațiile Poisson la BAC

O transformare adiabatică se desfășoară fără schimb de căldură între gaz și exterior. Gazul poate totuși schimba energie prin lucru mecanic, iar temperatura sa se poate modifica. Pentru o transformare adiabatică reversibilă a gazului ideal, relațiile lui Poisson leagă presiunea, volumul și temperatura prin exponentul adiabatic.

Lecția aparține modulului Elemente de termodinamică, pentru profilurile real, militar și tehnologic din programa oficială consultată. Calculele cu relațiile lui Poisson presupun aceeași cantitate de gaz ideal, proces reversibil cvasistatic, numai lucru de volum și capacități calorice constante. Distincția dintre această transformare și dilatarea liberă este verificată în referința OpenStax despre procese adiabatice. Exemplele sunt originale.

Primul principiu pentru Q = 0

Folosim convenția în care lucrul L efectuat de gaz este pozitiv la dilatare. Primul principiu este ΔU = Q − L. Pentru un proces adiabatic, ΔU = −L. Dacă gazul efectuează lucru pozitiv, energia sa internă scade; dacă exteriorul îl comprimă și L este negativ, energia internă crește.

Pentru gaz ideal, cu Cv constant, ΔU = nCv(T₂ − T₁). Prin urmare, lucrul adiabatic poate fi scris L = nCv(T₁ − T₂). Temperatura trebuie să fie exprimată în kelvini, iar semnul diferenței verifică sensul transferului.

Faptul că Q este zero nu obligă L sau ΔU să fie zero. Cuvântul „adiabatic” descrie transferul termic, nu toate formele de transfer energetic. Un înveliș izolator poate împiedica schimbul de căldură, în timp ce un piston permite lucru mecanic.

Exponentul adiabatic

Notăm cu γ raportul capacităților calorice molare: γ = Cp/Cv. Pentru gaz ideal, Cp − Cv = R, deci γ este mai mare decât unu în modelele calorice uzuale. Relațiile pot fi inversate: Cv = R/(γ − 1) și Cp = γR/(γ − 1).

Pentru gaz ideal monoatomic, Cv = 3R/2 și γ = 5/3. Pentru modelul diatomic cu rotații active și vibrații neglijate, Cv = 5R/2 și γ = 7/5. Folosește modelul sau valoarea oferită în enunț; nu presupune același γ pentru toate gazele și toate temperaturile.

Exponentul nu este cantitatea de gaz și nu are unitate. El caracterizează raportul coeficienților în modelul termic folosit. Cantitatea n influențează energia totală, dar nu apare în raporturile de stare ale aceleiași probe.

Relațiile lui Poisson

Pentru adiabata reversibilă a gazului ideal cu γ constant, pV^γ = constant și TV^(γ − 1) = constant. Între două stări, acestea dau p₂ = p₁(V₁/V₂)^γ și T₂ = T₁(V₁/V₂)^(γ − 1).

La comprimare, V₁/V₂ este mai mare decât unu, deci presiunea și temperatura cresc. La dilatare, raportul este sub unu, deci ambele scad. Acest control de sens trebuie făcut înainte de evaluarea puterilor.

Nu folosi pV = constant pentru o adiabată reversibilă obișnuită. Aceasta este relația izotermei gazului ideal, iar într-o adiabată temperatura se modifică atunci când gazul efectuează sau primește lucru nenul.

Proces idealizat	Relație de stare	Transfer termic
Izoterm reversibil	pV constant	Poate fi nenul
Adiabatic reversibil	pV^γ constant	Q = 0
Izocor	p/T constant	Depinde de încălzire sau răcire
Izobar	V/T constant	Depinde de încălzire sau răcire

Exemplu cu puteri ușor de calculat

Un gaz ideal monoatomic este comprimat adiabatic reversibil de la volumul V₁ la V₂ = V₁/8. Temperatura inițială este 200 K, iar presiunea inițială 100 kPa. Se ia γ = 5/3. Află temperatura și presiunea finale.

Raportul volumelor V₁/V₂ este opt. Temperatura se multiplică cu 8^(2/3). Rădăcina cubică a lui opt este doi, iar pătratul este patru. Rezultă T₂ = 800 K.

Presiunea se multiplică cu 8^(5/3), adică 2⁵ = 32. Presiunea finală este 3200 kPa. Verificarea prin ecuația de stare dă p₂V₂/(p₁V₁) = 32/8 = 4, egal cu T₂/T₁.

Valorile sunt un exercițiu matematic pentru modelul ideal. Nu reprezintă parametri recomandați pentru un recipient real. În rezolvarea școlară, consistența celor două relații este controlul important.

Calculul lucrului din stările inițială și finală

Folosind Cv = R/(γ − 1) și pV = nRT, obținem L = (p₁V₁ − p₂V₂)/(γ − 1). Produsul pV trebuie exprimat în jouli. La comprimare, temperatura și pV cresc, astfel încât numărătorul este negativ, iar lucrul gazului este negativ.

Pentru exemplul anterior, alegem V₁ = 8 L, deci V₂ = 1 L. Produsul inițial este 100 × 8 = 800 J, iar cel final 3200 × 1 = 3200 J. Lucrul este (800 − 3200)/(2/3) = −3600 J.

Energia internă crește cu 3600 J. Căldura rămâne zero. Dacă se cere lucrul efectuat de exterior asupra gazului, acesta este 3600 J, pozitiv ca energie primită prin lucru. Eticheta mărimii trebuie păstrată pentru a evita un răspuns cu semn aparent contradictoriu.

Dilatarea inversă

Dacă gazul revine reversibil pe aceeași adiabată de la starea finală la cea inițială, lucrul devine +3600 J. Gazul se răcește de la 800 K la 200 K și transformă o parte din energia internă în lucru asupra exteriorului.

Lucrul pozitiv nu provine din căldură primită în acea etapă, deoarece Q = 0. El provine din scăderea energiei interne. Această interpretare previne ideea greșită că un gaz poate efectua lucru numai dacă primește simultan căldură.

Pentru două stări fixate pe aceeași adiabată, inversarea sensului schimbă semnul lui L și al lui ΔU. Raporturile de temperatură și volum se inversează, dar relațiile de stare rămân aceleași.

Comparația cu o izotermă pornind din aceeași stare

Să dilatăm același gaz de la același punct inițial până la un volum final mai mare. Pe izotermă, presiunea scade invers proporțional cu volumul. Pe adiabata reversibilă, scade cu puterea γ, mai mare decât unu, deci presiunea finală este mai mică.

De exemplu, pentru dublarea volumului, izoterma dă p₂ = p₁/2. O adiabată cu γ = 5/3 dă p₂ = p₁/2^(5/3), aproximativ 0,315p₁. Gazul adiabatic se răcește, ceea ce explică presiunea mai mică la același volum final.

Aria sub adiabata de dilatare este mai mică decât sub izoterma pornită din aceeași stare. Comparația păstrează același volum final și același punct inițial; fără aceste condiții nu poți compara arbitrar lucrurile a două procese diferite.

De ce Q = 0 nu este suficient pentru Poisson

O dilatare liberă în vid într-un ansamblu izolat poate avea Q = 0 și L = 0. Pentru gaz ideal, ΔU = 0 și temperatura finală este aceeași ca la început. Procesul nu este reversibil cvasistatic și nu respectă, în general, relația pV^γ = constant între stări.

Prin urmare, înainte de Poisson verifici și reversibilitatea modelului, nu numai cuvântul „adiabatic”. Primul principiu rămâne aplicabil bilanțului, dar relația suplimentară de stare pe traseu cere ipotezele sale proprii.

Exerciții și soluții

Exercițiul 1. Un gaz adiabatic efectuează 250 J lucru. Care sunt Q și ΔU?

Soluție: Q = 0, iar ΔU = −250 J, în convenția lucrului efectuat de gaz.

Exercițiul 2. Pentru γ = 1,4, află Cv în funcție de R.

Soluție: Cv = R/0,4 = 2,5R, iar Cp = 3,5R.

Exercițiul 3. Un gaz monoatomic se dilată reversibil adiabatic de opt ori în volum. Cum se schimbă temperatura?

Soluție: T₂/T₁ = (1/8)^(2/3) = 1/4. Temperatura absolută se reduce de patru ori.

Întrebări frecvente

Adiabatic înseamnă izolat complet?

Nu. Înseamnă lipsa schimbului de căldură. Gazul poate schimba energie prin lucru și poate avea o frontieră mobilă.

Pot folosi grade Celsius în raportul temperaturilor?

Nu. Relațiile lui Poisson folosesc temperaturi absolute, exprimate în kelvini.

Orice comprimare este adiabatică?

Nu. Adiabaticitatea depinde de schimbul de căldură în procesul analizat. O comprimare poate fi și izotermă sau poate urma alt traseu.

Compară ipotezele cu cele din arhiva de subiecte BAC. Explicarea transferurilor susține învățarea prin înțelegere, iar un profesor de fizică poate verifica alegerea relației potrivite.

Sursa curriculară

Transformarea adiabatică și aplicarea primului principiu sunt incluse în programa oficială de fizică. Documentul istoric a fost verificat pentru domeniul lecției, fără afirmații despre o nouă programă anuală.