Transformarea izotermă: lucru și căldură la BAC

O transformare izotermă păstrează temperatura gazului constantă, dar poate modifica presiunea și volumul. Pentru un gaz ideal, energia internă nu se schimbă dacă temperatura rămâne aceeași. Totuși, gazul poate efectua lucru și poate primi sau ceda căldură. Egalitatea temperaturilor nu înseamnă absența transferurilor de energie.

Lecția aparține modulului Elemente de termodinamică, pentru profilurile real, militar și tehnologic din programa oficială consultată. Calculul lucrului cu logaritm este făcut pentru o cantitate fixă de gaz ideal într-o transformare izotermă reversibilă, cvasistatică, cu numai lucru de volum. Distincția dintre procesele izoterme și cele adiabatice este explicată și în referința OpenStax despre transformări termodinamice. Exemplele de mai jos sunt originale.

Relația dintre presiune și volum

Ecuația gazului ideal este pV = nRT. Dacă n și T rămân constante, produsul pV este constant: p₁V₁ = p₂V₂. Presiunea scade când volumul crește și crește când volumul scade. Relația este invers proporțională, nu liniară.

Un gaz aflat la 200 kPa și 2 L ajunge izoterm la 5 L. Presiunea finală este 200 × 2/5 = 80 kPa. Produsul pV este 400 J în ambele stări. Nu trebuie cunoscută separat temperatura pentru acest raport, dacă izoterma și cantitatea fixă sunt deja precizate.

Pe diagrama p–V, izoterma gazului ideal este o ramură de hiperbolă. Un segment drept care unește cele două stări nu reprezintă aceeași transformare. Aceleași capete pot fi unite prin procese diferite, cu lucruri mecanice diferite.

Convenția semnelor

Notăm cu L lucrul efectuat de gaz, pozitiv la dilatare și negativ la comprimare. Căldura Q este pozitivă când intră în gaz. Primul principiu se scrie ΔU = Q − L, echivalent cu Q = ΔU + L.

Pentru gaz ideal și temperatură constantă, ΔU = 0, deci Q = L. La dilatare izotermă, gazul primește căldură și efectuează lucru de aceeași valoare. La comprimare izotermă, exteriorul efectuează lucru asupra gazului, iar gazul cedează căldură.

Nu interpreta Q = L ca o transformare ciclică integrală a căldurii în lucru fără alte efecte. Procesul de aici schimbă volumul și presiunea, deci nu readuce gazul la starea inițială. Pentru un ciclu complet trebuie analizate și etapele de revenire.

Formula lucrului izoterm

Pentru procesul reversibil precizat, lucrul este L = nRT ln(V₂/V₁). Deoarece nRT = p₁V₁ = p₂V₂, poți scrie și L = p₁V₁ ln(V₂/V₁). Logaritmul este natural, cu baza e.

Raportul volumelor trebuie să fie fără unitate. Poți folosi ambele volume în litri sau ambele în metri cubi, deoarece unitățile se simplifică în raport. Factorul p₁V₁ trebuie însă exprimat într-o unitate de energie compatibilă cu răspunsul, de obicei jouli.

Semnul se verifică din raport: dacă V₂ > V₁, logaritmul este pozitiv; dacă V₂ < V₁, este negativ. Pentru V₂ = V₁, logaritmul este zero și nu există variație netă de volum pe acest proces izoterm direct.

De ce nu folosim presiunea inițială pe tot drumul

Presiunea se modifică în timpul izotermei. Produsul p₁(V₂ − V₁) ar calcula lucrul unei dilatări la presiunea constantă p₁, nu al izotermei. La dilatare, presiunea reală a gazului scade, deci acel dreptunghi supraestimează aria de sub izotermă.

Nici media aritmetică a presiunilor de la capete nu oferă exact lucrul, deoarece curba nu este o dreaptă. Formula trapezului ar aparține unui proces cu p variind liniar în funcție de V. Forma traseului trebuie respectată.

Într-o rezolvare de BAC poți folosi valoarea logaritmului oferită de enunț. Dacă este indicat ln 2 ≈ 0,693, păstrează precizia potrivită și nu înlocui logaritmul natural cu logaritmul zecimal.

Problemă rezolvată: dublarea volumului

Un gaz ideal are inițial p₁ = 150 kPa și V₁ = 4 L. Se dilată izoterm reversibil până la 8 L. Folosim ln 2 = 0,693. Determină presiunea finală, lucrul, căldura și variația energiei interne.

Presiunea finală este 150 × 4/8 = 75 kPa. Produsul p₁V₁ este 600 J. Lucrul este 600 × 0,693 = 415,8 J. Energia internă nu se schimbă, deci ΔU = 0, iar căldura primită este Q = 415,8 J.

Ca verificare, lucrul este mai mic decât dreptunghiul la presiunea inițială, 150 × 4 = 600 J, și mai mare decât dreptunghiul la presiunea finală, 75 × 4 = 300 J. Valoarea de 415,8 J se află între cele două limite, așa cum trebuie pentru o presiune descrescătoare între 150 și 75 kPa.

Procesul invers

Dacă gazul revine reversibil pe aceeași izotermă de la 8 L la 4 L, raportul volumelor este 1/2. Logaritmul este −ln 2, deci lucrul gazului este −415,8 J. Căldura este tot −415,8 J: gazul cedează această energie.

Lucrul efectuat de exterior asupra gazului are modulul 415,8 J și este pozitiv dacă este definit ca lucru primit. Nu îl introduce cu același semn în formula care folosește lucrul efectuat de gaz. Cele două convenții sunt echivalente numai dacă semnul este schimbat consecvent.

Drumul dus și întors pe aceeași izotermă are lucru net zero. Pe diagrama p–V nu se închide o arie între trasee distincte, deoarece cele două parcurgeri se suprapun cu sensuri opuse.

Două dilatări succesive

Un gaz se dilată de la V la 2V, apoi de la 2V la 4V, la aceeași temperatură și cu aceeași cantitate. Fiecare etapă are același raport al volumelor, doi, și același factor nRT. Prin urmare, lucrurile celor două etape sunt egale.

Lucrul total este nRT ln 2 + nRT ln 2 = nRT ln 4. În schimb, creșterile absolute de volum sunt diferite: prima este V, a doua 2V. Egalitatea lucrurilor provine din raporturile egale și din presiunile mai mici în etapa a doua.

Această observație ajută la interpretarea logaritmului. Pentru izotermă, dublările succesive au același cost energetic reversibil, chiar dacă adaugă volume absolute diferite. Adăugarea aceleiași cantități de volum în etape succesive nu produce, în general, lucruri egale.

Limita formulei: dilatarea liberă

Formula cu logaritm nu se aplică automat oricărei treceri între două stări cu aceeași temperatură. Într-o dilatare liberă în vid a unui gaz ideal într-un ansamblu izolat, lucrul de volum asupra exteriorului este zero și căldura este zero. Energia internă și temperatura ideală rămân neschimbate.

Acest proces este ireversibil și nu urmează izoterma cvasistatică folosită pentru calculul ariei p–V. Stările finale pot respecta p₁V₁ = p₂V₂, dar lucrul nu este nRT ln(V₂/V₁). Distincția dintre stări și drum împiedică aplicarea formulei în afara ipotezelor.

Exerciții și soluții

Exercițiul 1. Un gaz are p₁V₁ = 300 J și își dublează reversibil volumul la temperatură constantă. Folosește ln 2 = 0,693.

Soluție: L = 207,9 J, Q = 207,9 J și ΔU = 0.

Exercițiul 2. Volumul scade izoterm de trei ori. Cum se schimbă presiunea?

Soluție: presiunea se triplează pentru aceeași cantitate de gaz ideal. Lucrul gazului este negativ în comprimarea reversibilă.

Exercițiul 3. Un elev calculează Q = 0 deoarece temperatura rămâne constantă într-o dilatare izotermă reversibilă. Ce a confundat?

Soluție: a confundat temperatura constantă cu izolarea adiabatică. Pentru gaz ideal, temperatura constantă impune ΔU = 0, iar căldura este egală cu lucrul, nu neapărat zero.

Întrebări frecvente

Trebuie să folosesc aceeași unitate pentru cele două volume?

Da. Raportul trebuie să compare valori exprimate în aceeași unitate. Litrii se pot simplifica între ei, dar nu poți împărți direct un număr în litri la unul în metri cubi.

De ce apare logaritmul natural?

Presiunea izotermă variază invers proporțional cu volumul. Calculul ariei sub această curbă conduce la logaritmul natural al raportului volumelor.

O izotermă este și izobară?

Nu pentru o cantitate fixă de gaz ideal care își schimbă volumul. Dacă temperatura este constantă și volumul crește, presiunea trebuie să scadă.

Folosește arhiva de subiecte BAC pentru a exersa convenția semnelor. Explicarea fiecărui transfer susține învățarea prin înțelegere, iar un profesor de fizică poate verifica dacă ai ales modelul reversibil potrivit.

Sursa curriculară

Transformarea izotermă și aplicarea primului principiu sunt incluse în programa oficială de fizică. Documentul istoric delimitează domeniul lecției, fără a fi prezentat drept o nouă programă anuală.