Zecimale periodice în fracții: metoda explicată

Transformi o zecimală periodică în fracție înmulțind numărul cu puteri ale lui zece, astfel încât părțile periodice să se alinieze, apoi scăzând egalitățile. La o perioadă simplă de două cifre apare numitorul 99. La o perioadă mixtă, zerourile din numitor corespund cifrelor zecimale care preced perioada.

De exemplu, $0,(27)=27/99=3/11$, iar $0,1(6)=(16-1)/90=1/6$. Parantezele marchează cifrele care se repetă fără sfârșit. Nu sunt paranteze de înmulțire și nu indică o aproximație.

Cum recunoști perioada și partea neperiodică?

Numărul $0,(42)$ înseamnă $0,424242\ldots$. Repetarea începe imediat după virgulă, deci zecimala periodică este simplă. Blocul repetat este 42, format din două cifre.

Numărul $0,3(42)$ înseamnă $0,3424242\ldots$. Cifra 3 apare o singură dată înaintea repetării. Aceasta este partea zecimală neperiodică, iar numărul este o zecimală periodică mixtă.

La $2,05(7)$, partea întreagă este 2, partea zecimală neperiodică are două cifre, 0 și 5, iar perioada are o cifră, 7. Zero contează ca poziție, chiar dacă nu schimbă valoarea unui număr întreg scris separat.

Înainte de calcul, subliniază perioada și încercuiește cifrele dintre virgulă și perioadă. Astfel alegi puterile lui zece din structură, fără să ghicești câte cifre 9 sau 0 trebuie scrise la numitor.

De ce funcționează metoda pentru o perioadă simplă?

Notează $x=0,(42)$. Înmulțirea cu 100 mută virgula cu două poziții, adică exact lungimea perioadei:

$$100x=42,(42).$$

Partea zecimală a lui $100x$ este identică cu partea zecimală a lui $x$. Scăzând cele două numere, obții $99x=42$. Prin urmare, $x=42/99=14/33$.

Scăderea nu înseamnă că oprești șirul după câteva cifre. Cele două cozi periodice reprezintă aceeași valoare și se anulează exact. Dacă ai lucra cu $0,42$, fără perioadă, ai avea alt număr: $42/100=21/50$.

Pentru o perioadă cu trei cifre, înmulțești cu 1.000. La $x=0,(136)$ rezultă $1000x=136,(136)$, apoi $999x=136$. Fracția este $136/999$. Alegerea lui 999 provine din $1000-1$, nu dintr-o regulă decorativă despre cifre.

Cum procedezi la o perioadă mixtă?

Ia $x=0,2(45)$. Mai întâi muți virgula după cifra neperiodică: $10x=2,(45)$. Apoi o muți cu încă două poziții, lungimea perioadei: $1000x=245,(45)$.

Acum părțile zecimale sunt identice. Scazi:

$$1000x-10x=245-2,$$$$990x=243,\qquad x=\frac{243}{990}=\frac{27}{110}.$$

Numitorul are două cifre 9, pentru cele două cifre ale perioadei, urmate de un zero, pentru cifra neperiodică. La numărător ai scăzut numărul dinaintea perioadei din numărul format până la sfârșitul primei perioade.

Nu scrii $245/990$. Această fracție ignoră scăderea lui 2. Poți verifica rapid că $27/110$ începe cu $0,24545\ldots$, așa cum cere enunțul.

După obținerea fracției, simplificarea are exact aceeași justificare ca în orice calcul cu numere raționale. Pentru un numărător și un numitor mari, algoritmul lui Euclid te ajută să găsești divizorul comun fără încercări la întâmplare.

Cum tratezi o parte întreagă nenulă?

Pentru $x=3,1(8)$, ai $10x=31,(8)$ și $100x=318,(8)$. Scăzând, obții $90x=287$, deci $x=287/90$.

În această variantă, numărătorul se calculează din întregul șir de cifre: $318-31$. Nu scazi doar 1 din 18, dacă ai inclus deja partea întreagă în notația lui $x$. Ai combina două metode diferite și ai pierde cele trei unități.

Poți folosi și o a doua metodă, consecventă: scrii $3,1(8)=3+0,1(8)$. Partea zecimală este $17/90$, iar $3+17/90=287/90$. Cele două căi trebuie să ducă la aceeași fracție.

Pentru un număr negativ, convertești modulul și păstrezi semnul minus în fața rezultatului. Astfel, $-0,(27)=-3/11$. Nu modifici semnul perioadei separat de semnul numărului.

Ce faci când perioada sau partea neperiodică începe cu zero?

La $0,(04)$, perioada are două cifre. Rezultatul este $4/99$, nu $4/9$. Numărul $0,(04)$ începe cu $0,040404\ldots$, iar $4/9$ începe cu $0,4444\ldots$. Zero schimbă poziția cifrei 4 și nu poate fi ignorat.

Pentru $x=0,02(7)$, ai două cifre neperiodice și una periodică. Scrii $100x=2,(7)$ și $1000x=27,(7)$. Rezultă $900x=25$, deci $x=1/36$.

Un tabel scurt separă cazurile:

Număr	Fracție înainte de simplificare	Rezultat
$0,(8)$	$8/9$	$8/9$
$0,(08)$	$8/99$	$8/99$
$0,0(8)$	$8/90$	$4/45$
$0,08$	$8/100$	$2/25$

Cele patru numere folosesc aceleași cifre, dar au valori diferite. Citirea notației este parte din rezolvare, înainte de orice înmulțire.

De ce 0,(9) este egal cu 1?

Aplică aceeași metodă: $x=0,(9)$, deci $10x=9,(9)$. Prin scădere obții $9x=9$, astfel că $x=1$.

Nu există un „ultim nouă” după care să mai adaugi o diferență. Scrierea periodică descrie infinit de multe cifre. În schimb, fiecare aproximație finită, precum 0,9 sau 0,999, este mai mică decât 1.

Această situație arată că un număr poate avea două reprezentări zecimale: $0,5=0,4(9)$. Calculul pentru a doua scriere dă $(49-4)/90=45/90=1/2$. Nu este o excepție a aritmeticii, ci o particularitate a reprezentării zecimale.

Cum verifici fracția obținută?

Împarte numărătorul la numitor și urmărește resturile. Pentru $14/33$, prima cifră zecimală este 4 și restul este 8. Următoarea cifră este 2 și restul revine la 14. De aici se repetă același proces, deci perioada este 42.

Verificarea prin resturi este mai convingătoare decât un calculator care afișează doar un număr limitat de zecimale. Un ecran cu opt cifre nu dovedește singur unde începe sau cât de lungă este perioada.

Poți încadra și valoarea: $0,2(45)$ trebuie să fie între 0,24 și 0,25. Dacă fracția calculată depășește 1, verifică numitorul sau partea întreagă. Acest control prin estimare se potrivește cu pașii de lucru la matematică, înaintea reluării tuturor calculelor.

Cum verifici dacă ai ales corect cele două înmulțiri?

Scrie explicit câteva cifre după virgulă în ambele egalități. Prima cifră zecimală, apoi a doua și a treia trebuie să coincidă. Dacă într-un rând partea zecimală începe cu 4545, iar în celălalt cu 5454, nu ai aliniat perioadele.

De exemplu, pentru numărul cu o cifră neperiodică și două periodice, diferența dintre deplasările virgulei trebuie să fie de două poziții. Poți înmulți cu zece și cu o mie. Înmulțirea cu zece și cu o sută deplasează cele două cozi cu o singură poziție una față de cealaltă și nu le face identice.

Dacă ai obținut două cozi diferite, oprește scăderea și repară alinierea. Nu elimina cifrele zecimale doar pentru că ambele rânduri conțin puncte de suspensie. Anularea cere aceeași valoare, nu doar două scrieri infinite.

Ce se întâmplă dacă scrii perioada de două ori?

Numărul $0,(27)$ poate fi scris și $0,(2727)$. În prima reprezentare, calculul pornește de la $27/99$. În a doua, pornește de la $2727/9999$. A doua fracție se simplifică prin 101 și devine prima.

Prin urmare, repetarea unui bloc complet nu schimbă numărul, dar complică inutil calculul. Caută perioada cea mai scurtă înainte să construiești numitorul. Nu poți însă scurta blocul 27 la cifra 2 sau la cifra 7: cifrele trebuie să refacă exact același șir.

Această verificare este utilă când primești un șir lung și trebuie să identifici modelul. Faptul că două cifre apar de multe ori nu dovedește că se repetă în aceeași ordine. Citește mai multe blocuri complete și verifică granițele dintre ele.

Exerciții cu răspunsuri explicate

1. $0,(54)=54/99=6/11$. Perioada are două cifre, deci folosești 99.
2. $0,4(6)=(46-4)/90=42/90=7/15$. Scazi partea dinaintea perioadei.
3. $1,0(3)=(103-10)/90=93/90=31/30$. Zero ocupă o poziție neperiodică.
4. $0,(125)=125/999$. Fracția nu se simplifică: 999 nu se divide cu 5.
5. $0,12(12)=12/99=4/33$. Repetarea „12” începe deja imediat după virgulă; scrierea cu parte neperiodică nu este cea mai scurtă.

Dacă metoda cu două egalități rămâne neclară, un exemplu cu perioadă simplă și unul cu zero sunt suficiente pentru a localiza dificultatea. Le poți discuta cu un profesor găsit printre anunțurile pentru meditații la matematică, explicând unde nu mai urmărești mutarea virgulei.

Întrebări frecvente

Orice zecimală infinită este periodică?

Nu. Există și reprezentări infinite neperiodice. Metoda de aici cere un bloc de cifre care se repetă fără sfârșit după un anumit punct.

Pot rotunji înainte de transformare?

Nu, dacă vrei fracția exactă. Rotunjirea înlocuiește numărul cu o aproximație și schimbă problema.

Unde este explicată legătura cu numerele raționale?

OpenStax prezintă reprezentările zecimale ale numerelor raționale. Exemplele și calculele din acest articol sunt construite separat, pentru notația cu virgulă și paranteze.