Baza doi: transformări și exemple explicate

În baza doi, un număr se scrie folosind numai cifrele zero și unu, iar pozițiile au valorile 1, 2, 4, 8, 16 și așa mai departe. Fiecare poziție din stânga valorează de două ori cât cea din dreapta. De exemplu, scrierea binară 10110 reprezintă numărul zecimal 22, deoarece aduni 16, 4 și 2.

Schimbarea bazei nu schimbă cantitatea, ci modul în care o reprezinți. Douăzeci și două de jetoane rămân același număr de obiecte, indiferent dacă scrii 22 în baza zece sau 10110 în baza doi.

Ce înseamnă valoarea unei poziții?

În baza zece, numărul 304 are trei sute, zero zeci și patru unități. Valorile pozițiilor sunt puteri ale lui zece. În baza doi, pozițiile sunt puteri ale lui doi: unități, perechi, grupe de patru, grupe de opt și așa mai departe.

Cifra unu spune că folosești grupa poziției respective. Cifra zero spune că nu o folosești, dar poziția rămâne prezentă. La 10110, zeroul dintre primul și al doilea unu păstrează locul grupelor de opt.

Dacă ai șterge acel zero, ai obține 1110, adică 14 în baza zece. Zerourile din interior nu sunt decorative. Ele arată ce grupe lipsesc din descompunere și păstrează valorile celorlalte cifre.

Pentru a evita ambiguitatea, poți nota baza printr-un indice: $(10110)_2=(22)_{10}$. Numărul 10 fără o bază precizată se citește de obicei în baza zece, dar $(10)_2$ reprezintă doi.

Cum transformi un număr binar în baza zece?

Scrie valorile pozițiilor de la dreapta la stânga, pornind cu unu și dublând. Pentru 110101, ai nevoie de șase poziții:

Cifră	1	1	0	1	0	1
Valoarea poziției	32	16	8	4	2	1
Contribuție	32	16	0	4	0	1

Adunarea contribuțiilor dă 53. Nu aduni toate valorile pozițiilor, ci numai pe cele marcate prin unu. Cele două zerouri elimină contribuțiile de opt și doi.

Poți verifica limita rezultatului. Un număr binar cu șase cifre și prima cifră unu este cel puțin 32 și cel mult 63. Valoarea 53 se află în acest interval. Un rezultat de 85 ar indica o eroare, chiar înainte să refaci suma.

Cum transformi din baza zece folosind puteri ale lui doi?

Vrei să scrii 45 în baza doi. Cea mai mare putere a lui doi care nu depășește 45 este 32. O folosești și rămân 13. Nu folosești 16, fiindcă depășește restul. Folosești opt și rămân cinci.

Continui cu patru, apoi cu doi și unu. Folosești patru și rămâne unu; nu folosești doi; folosești unu. Rezultatul este 101101, deoarece $45=32+8+4+1$.

Păstrează toate pozițiile, inclusiv pe cele nefolosite. Scrierea doar a cifrelor unu ar pierde informația despre ce puteri ai ales. Un tabel cu valorile 32, 16, 8, 4, 2, 1 te ajută să înregistrezi fiecare decizie.

Pentru calculul sumelor, poți relua ordinea operațiilor. Aici întâi afli valoarea fiecărei puteri și apoi aduni contribuțiile, fără să confunzi exponentul cu un factor obișnuit.

Cum funcționează împărțirile succesive la doi?

Împarți numărul la doi, păstrezi câtul întreg și notezi restul. Repeți cu câtul, până când acesta devine zero. Fiecare rest este zero sau unu, deoarece împărțitorul este doi.

Pentru 45, pașii sunt:

Număr	Cât	Rest
45	22	1
22	11	0
11	5	1
5	2	1
2	1	0
1	0	1

Citești resturile de jos în sus și obții 101101. Primul rest găsit reprezintă ultima cifră, nu prima. El arată dacă numărul inițial conține o unitate care nu poate fi grupată într-o pereche.

Împărțirea următoare analizează numărul perechilor, apoi numărul grupelor de patru și așa mai departe. Din acest motiv, resturile sunt descoperite de la poziția cea mai mică spre cea mai mare.

De ce ultima cifră arată paritatea?

Toate pozițiile, cu excepția celei a unităților, au valori pare. Suma contribuțiilor lor este tot pară. Cifra finală decide dacă mai adaugi o unitate.

Astfel, o scriere binară terminată în zero reprezintă un număr par, iar una terminată în unu reprezintă un număr impar. Numărul 10110 este par, iar 10111 este impar, fără să fie nevoie să le transformi complet.

Dacă ultimele două cifre sunt zero, numărul este divizibil cu patru. Dacă ultimele trei sunt zero, este divizibil cu opt. Fiecare zero final suplimentar arată încă un factor doi în descompunerea numărului nenul.

Această observație poate fi pusă alături de recunoașterea factorilor primi: baza aleasă face unele proprietăți mai ușor de văzut, fără să schimbe numărul.

Ce înseamnă adăugarea unui zero la dreapta?

În baza doi, adăugarea unui zero la dreapta dublează numărul. Fiecare cifră se mută pe o poziție cu valoare dublă. De exemplu, 101 reprezintă cinci, iar 1010 reprezintă zece.

Adăugarea unei cifre unu la dreapta dublează numărul și adaugă unu. Din 101 ajungi la 1011, care reprezintă 11. Aceste două reguli permit verificarea incrementală a unei scrieri binare.

Pornește de la zero și citește 1101 de la stânga la dreapta. Dublezi și adaugi cifra curentă: obții pe rând 1, 3, 6 și 13. Rezultatul coincide cu suma pozițiilor, opt plus patru plus unu.

Câte valori poți reprezenta cu un număr fix de cifre?

Cu patru cifre binare, fiecare poziție are două posibilități. Există $2^4=16$ șiruri, de la 0000 la 1111. Dacă le interpretezi ca întregi fără semn, valorile merg de la zero la 15.

Numărul valorilor este 16, dar valoarea maximă este 15. Diferența apare deoarece zero este inclus. Această distincție previne răspunsul greșit „patru cifre ajung până la 16”. Pentru 16 ai nevoie de scrierea 10000, cu cinci cifre.

Cu opt cifre, valorile fără semn merg de la zero la 255, adică 256 de posibilități. Nu extindem această afirmație la orice reprezentare informatică: numerele negative și fracțiile folosesc convenții suplimentare. Aici discutăm numai întregi nenegativi fără semn.

Ce greșeli trebuie să urmărești?

Nu folosi cifra doi într-o scriere în baza doi. După 1 urmează 10, apoi 11 și 100. Nu citi 100 ca „o sută” când baza este doi: valoarea lui este patru.

Nu inversa resturile doar pe jumătate și nu omite zerourile dintre ele. La conversia lui 18, resturile succesive sunt 0, 1, 0, 0, 1. Citirea de jos în sus dă 10010, nu 110 sau 1001.

Verificarea inversă este scurtă și merită păstrată lângă rezultat. Dacă te încurcă pozițiile, poți explica metoda cu un tabel unui profesor din anunțurile pentru meditații la matematică, înainte de a lucra cu numere mai lungi.

Exerciții cu răspunsuri explicate

1. $(10011)_2$ este 19, din 16 plus doi plus unu.
2. Numărul zecimal 26 se scrie 11010, din 16 plus opt plus doi.
3. $(11111)_2$ este 31, maximul pe cinci cifre fără semn.
4. Numărul 40 se scrie 101000 și este divizibil cu opt, conform celor trei zerouri finale.
5. Scrierile 00101 și 101 au aceeași valoare, cinci. Zerourile de la început nu modifică pozițiile numerotate de la dreapta.

Întrebări frecvente

Cum scriu zero în baza doi?

Ca zero. Într-un format cu lungime fixă, pot apărea mai multe zerouri inițiale, fără schimbarea valorii.

Unde pot explora pozițiile cu obiecte?

CS Unplugged prezintă numerele binare prin cartonașe. Conversiile și tabelele numerice din acest articol sunt construite separat.