Unghiul dintre acele ceasului: calcul și exemple

Unghiul dintre acele ceasului se calculează din poziția fiecărui ac față de ora 12, ținând cont că și acul orar se mișcă între două ore. Minutarul avansează cu șase grade pe minut, iar acul orar cu jumătate de grad pe minut. La final alegi, dacă problema o cere, unghiul mai mic, cuprins între zero și 180 de grade.

La 3:30, de exemplu, unghiul mai mic este de 75 de grade, nu de 90. Acul orar a parcurs deja jumătate din distanța dintre 3 și 4. Această deplasare este detaliul cel mai des omis.

Câte grade parcurge fiecare ac într-un minut?

Un cerc complet are 360 de grade. Minutarul face o rotație în 60 de minute, deci parcurge $360/60=6$ grade într-un minut. În zece minute parcurge 60 de grade, iar în 25 de minute parcurge 150.

Acul orar face o rotație în 12 ore. Într-o oră parcurge $360/12=30$ de grade. Cum ora are 60 de minute, într-un minut avansează cu $30/60=0,5$ grade.

Lucrăm cu modelul unui ceas analogic ideal, în care acele se deplasează uniform. Nu analizăm mecanisme care sar în trepte sau ceasuri care nu indică ora exactă. Modelul precizat face calculele reproductibile.

Cele două viteze unghiulare sunt diferite, dar ambele sunt nenule. Dacă „îngheți” acul orar pe cifra orei, folosești o aproximație care poate schimba mult răspunsul, mai ales spre finalul orei.

Cum afli poziția unui ac față de ora 12?

Măsoară unghiurile în sensul acelor de ceasornic, pornind de la ora 12. La ora $h:m$, cu $h$ între 0 și 11, poziția minutarului este $6m$ grade.

Poziția acului orar este $30h+0,5m$ grade: primul termen arată orele complete, al doilea arată avansul produs de minute. Pentru ora 12 folosești $h=0$, iar pentru 15:20 folosești $h=3$, fiindcă pozițiile se repetă după 12 ore.

La 2:20, minutarul se află la $6\cdot20=120$ de grade. Acul orar se află la $30\cdot2+0,5\cdot20=70$ de grade. Diferența pozițiilor este de 50 de grade, deci acesta este unghiul mai mic.

Scrierea ambelor poziții separat te ajută să observi o eroare. La 2:20, acul orar trebuie să fie între pozițiile de 60 și 90 de grade, deoarece se află între 2 și 3. Valoarea 70 respectă acest reper vizual.

De ce folosești valoarea absolută a diferenței?

Uneori poziția minutarului este mai mare, alteori cea a acului orar. Unghiul geometric nu primește semnul minus doar fiindcă ai scăzut în altă ordine. Calculezi mai întâi:

$$D=\left|30h-5,5m\right|.$$

Expresia provine din diferența $30h+0,5m-6m$. Coeficientul 5,5 reprezintă diferența dintre vitezele celor două ace, nu viteza unuia dintre ele.

La 7:10, pozițiile sunt 215 grade și 60 de grade. Diferența este 155. Dacă scazi în ordine inversă, obții −155, iar modulul readuce distanța unghiulară la 155. Poți revedea regulile pentru modulul unui număr dacă tocmai semnul îți schimbă răspunsul.

Această diferență poate fi mai mare de 180 de grade. De aceea calculul nu se termină întotdeauna aici: trebuie să stabilești ce unghi cere enunțul.

Cum alegi unghiul mai mic?

Două raze determină două unghiuri în jurul centrului, a căror sumă este 360 de grade. Dacă diferența pozițiilor este $D$, celălalt unghi are $360-D$ grade. Alegi valoarea mai mică:

$$\alpha=\min(D,360-D).$$

La 11:10, acul orar este la 335 de grade, iar minutarul la 60. Diferența este 275. Unghiul mai mic este însă $360-275=85$ de grade, traversând zona din dreptul orei 12.

La 6:00, diferența este 180 și ambele unghiuri au aceeași măsură. La 12:00, acele se suprapun și unghiul mai mic este zero. Aceste cazuri de margine sunt verificări utile pentru formula generală.

Dacă un exercițiu cere explicit unghiul reflex, alegi unghiul mai mare de 180 de grade, când acesta există. Nu schimba cerința într-una despre unghiul mai mic doar pentru că așa ai rezolvat exemplele anterioare.

Cum verifici ora 3:30 fără formula compactă?

La 3:00, acul orar este la 90 de grade față de 12. În următoarele 30 de minute avansează cu $30\cdot0,5=15$ grade. Ajunge deci la 105 grade.

Minutarul este la ora 6, adică la 180 de grade. Între pozițiile 105 și 180 rămân 75 de grade. Desenul trebuie să arate acul orar la jumătatea drumului dintre 3 și 4.

Formula compactă dă același rezultat: $|30\cdot3-5,5\cdot30|=|90-165|=75$. Cele două calcule oferă un control reciproc, fără să depinzi de cât de exact ai desenat cadranul.

Un desen schematic este util pentru estimare, însă nu măsura pe el cu raportorul dacă nu a fost construit la scară. Un calcul corect nu devine greșit pentru că o schiță rapidă arată aproximativ 80 de grade.

Când se suprapun acele după ora 2?

La 2:00, acul orar are un avans de 60 de grade. În fiecare minut, minutarul recuperează $6-0,5=5,5$ grade. Pentru suprapunere trebuie să recupereze întregul avans:

$$5,5m=60,\qquad m=\frac{120}{11}.$$

Sunt zece minute și $10/11$ dintr-un minut după ora 2. Partea fracționară înseamnă aproximativ 54,55 secunde. Suprapunerea are loc în jurul orei 2:10:54,55, nu exact la 2:10.

Aici am permis fracțiuni de minut. Dacă problema cere numai ore exprimate prin minute întregi, trebuie să spui că în intervalul respectiv nu există un minut întreg cu suprapunere exactă. Rotunjirea nu transformă o aproximație într-o egalitate.

Pentru calculele cu fracții și înmulțiri, păstrează ordinea operațiilor și convertește în secunde abia la final. Rotunjirile intermediare pot deplasa momentul calculat.

Când sunt perpendiculare între ora 2 și ora 3?

În acest interval, diferența semnată este $60-5,5m$, cu $0\leq m<60$. Pentru un unghi drept trebuie să ajungi la o diferență de 90 sau −90 de grade.

Ecuația $60-5,5m=90$ dă un timp negativ, deci nu aparține intervalului cerut. Ecuația $60-5,5m=-90$ dă $m=300/11$, adică 27 de minute și aproximativ 16,36 secunde.

Diferențele de plus sau minus 270 de grade ar da și ele un unghi drept pe arcul mai scurt. În intervalul analizat, plus 270 nu este atins, iar minus 270 apare abia la 3:00, capăt exclus.

Este singura soluție din această oră. Condiția de interval contează la fel de mult ca rezolvarea ecuației. O valoare negativă nu poate fi păstrată doar fiindcă verifică egalitatea algebrică.

Exerciții cu răspunsuri explicate

1. La 4:00, unghiul mai mic este 120 de grade: acul orar a parcurs patru sectoare a câte 30 de grade.
2. La 5:20, pozițiile sunt 160 și 120 de grade, deci unghiul este 40 de grade.
3. La 8:30, pozițiile sunt 255 și 180 de grade, deci unghiul este 75 de grade.
4. La 12:40, pozițiile sunt 20 și 240 de grade. Diferența este 220, iar unghiul mai mic este 140 de grade.

Pentru fiecare rezultat, notează ambele poziții și apoi alegerea unghiului. Dacă dificultatea este trecerea de la timp la grade, poți aduce aceste exemple când consulți anunțurile pentru meditații la matematică.

Întrebări frecvente

Lungimea acelor influențează unghiul?

Nu. Unghiul depinde de direcțiile acelor, nu de lungimea lor. Lungimile ar conta într-o problemă despre distanța dintre vârfuri.

Pot folosi ora 15 direct în formulă?

Redu ora la cadranul de 12 ore: 15 devine 3. Astfel pozițiile rămân în intervalul unei singure rotații și alegerea unghiului este directă.

Unde pot vedea o problemă similară?

NRICH analizează unghiul acelor unui ceas, urmărind și mișcarea acului orar. Orele și exercițiile din acest articol sunt alese separat.