Metoda mersului invers: probleme explicate

Metoda mersului invers pornește de la rezultatul final și desface operațiile în ordine inversă, folosind operația opusă la fiecare pas. Dacă ai adunat, scazi; dacă ai înmulțit cu un număr nenul, împarți la el. Ordinea este la fel de importantă ca alegerea operației.

De exemplu, un număr este înmulțit cu trei, apoi i se adaugă opt, iar rezultatul este 35. Pornind de la 35, scazi întâi opt și apoi împarți la trei. Numărul inițial este nouă. Dacă inversezi operațiile în aceeași ordine în care au fost făcute, rezolvi altă problemă.

Cum desenezi un lanț de operații?

Scrie patru căsuțe: numărul inițial, rezultatul primei operații, rezultatul celei de-a doua și rezultatul final. Între ele pune săgeți cu operațiile. Nu comprima din prima toate informațiile într-o expresie greu de citit.

Pentru „înmulțesc cu patru, scad șapte, împart la trei și obțin 15”, traseul înainte este format din trei acțiuni succesive. Mersul invers începe cu înmulțirea lui 15 cu trei, continuă cu adunarea lui șapte și se încheie cu împărțirea la patru.

Rezultatele intermediare sunt 45, 52 și 13. Verificarea înainte pornește de la 13: înmulțirea dă 52, scăderea dă 45, iar împărțirea dă 15. Fiecare căsuță se potrivește în ambele sensuri.

De ce trebuie întoarsă și ordinea?

Imaginează-ți că pui o carte într-o cutie și apoi închizi capacul. Ca să scoți cartea, desfaci mai întâi capacul. Într-un lanț de operații, ultima acțiune trebuie desfăcută prima pentru a recupera starea anterioară.

La numărul înmulțit cu trei și apoi mărit cu opt, rezultatul 35 conține deja acei opt adăugați. Îi elimini înainte să anulezi înmulțirea. Împărțirea directă a lui 35 la trei ar împărți și adaosul, care nu exista în momentul înmulțirii inițiale.

Diferența poate fi scrisă prin paranteze: rezultatul este $3x+8$, iar întoarcerea corectă este $(35-8)/3$. Expresia $35/3-8$ are altă grupare. Dacă aici apare blocajul, reia ordinea efectuării operațiilor pe două exemple cu aceleași numere.

Ce operații se desfac una pe alta?

Adunarea unui număr se desface prin scăderea aceluiași număr. Scăderea se desface prin adunare. Înmulțirea cu un număr nenul se desface prin împărțire, iar împărțirea la un număr nenul prin înmulțire.

Cuvântul „nenul” contează. Dacă înmulțești un număr cu zero, rezultatul este zero indiferent de numărul de pornire. Nu mai poți recupera o valoare unică. Nu există o împărțire la zero care să repare această pierdere de informație.

Și ridicarea la pătrat cere atenție. Din rezultatul 49 poți recupera 7 sau −7 dacă lucrezi în numere reale. Dacă problema spune că numărul inițial este pozitiv, rămâne doar 7. Domeniul poate elimina ambiguitatea, dar trebuie precizat.

Cum rezolvi o problemă cu un stoc care se micșorează?

O bibliotecă pregătește un lot de semne de carte. Trimite jumătate dintre ele unei clase, apoi încă opt altei clase. În cutie rămân 27. Câte erau la început?

Înainte de trimiterea celor opt semne de carte erau $27+8=35$. Această cantitate reprezenta jumătatea rămasă după prima acțiune. Lotul inițial avea deci $35\cdot2=70$ de semne de carte.

Verifică: jumătate din 70 înseamnă 35 trimise și 35 rămase. După încă opt trimise, rămân 27. În sens invers ai adunat opt, nu ai scăzut, fiindcă reconstruiai un stoc anterior mai mare.

Nu calcula direct jumătate din 27. Fracția din enunț se referă la lotul existent înaintea primei distribuiri, nu la cantitatea finală. Această precizare stabilește ce anume trebuie dublat.

Cum procedezi când se pierde o fracție din ce a rămas?

Într-un joc, ai un număr de jetoane. Dai o treime dintre ele, apoi dai un sfert din rest. La final păstrezi 24 de jetoane. Prima distribuire lasă două treimi din cantitatea inițială, iar a doua lasă trei sferturi din cantitatea intermediară.

Mergând invers, cei 24 reprezintă trei sferturi din cantitatea de dinaintea ultimei distribuiri. O pătrime înseamnă opt, deci întregul intermediar este 32. Cei 32 reprezintă două treimi din cantitatea inițială, deci o treime este 16 și întregul inițial este 48.

Verificarea înainte este exactă: din 48 dai 16 și rămân 32; din 32 dai opt și rămân 24. Fiecare distribuire produce un număr întreg de jetoane, conform poveștii.

Nu aduni o treime și un sfert din 24. Procentele sau fracțiile din etape succesive pot avea baze diferite. Etichetarea fiecărei stări te împiedică să folosești automat aceeași cantitate la toate operațiile.

Cum funcționează mersul invers la transferuri între cutii?

La final, două cutii conțin câte 18 creioane. Înainte de această egalizare, cineva a mutat cinci creioane din prima cutie în a doua. Pentru a reconstrui situația inițială, întorci transferul: pui cinci înapoi în prima și îi scoți din a doua.

Inițial erau 23 și 13 creioane. Totalul rămâne 36, deoarece transferul nu adaugă și nu elimină obiecte din cele două cutii luate împreună. Diferența inițială era zece, deși ai mutat numai cinci.

Greșeala „adaug cinci în ambele cutii” ar produce un total de 46 și ar inventa zece creioane. O verificare a totalului poate respinge răspunsul înainte să refaci toată rezolvarea.

Poți include acest control în metoda de lucru la matematică în cinci pași: reconstruiești starea, apoi verifici o informație care trebuie păstrată, cum este numărul total de obiecte.

Când mersul invers nu oferă un răspuns unic?

Dacă știi doar că un număr a fost rotunjit la zeci și s-a obținut 50, pot exista mai multe valori inițiale. Pentru întregi pozitivi și rotunjire uzuală, numerele de la 45 la 54 au acest rezultat. Rotunjirea a șters informația despre unități.

La fel, dacă ai extras numai restul împărțirii la cinci și ai obținut doi, numărul inițial poate fi 2, 7, 12 și multe altele. Fără o limită sau altă condiție, nu poți identifica unul singur.

Metoda nu promite că orice operație are o inversă unică. Întreabă dacă pasul final păstrează suficientă informație. Uneori răspunsul corect este o listă de posibilități sau concluzia că datele sunt insuficiente.

Cum alegi între mers invers și ecuație?

Mersul invers este comod când ai o succesiune clară de acțiuni și fiecare pas poate fi desfăcut. O ecuație este adesea mai potrivită când necunoscuta apare în mai multe locuri sau când trebuie comparate două cantități dependente de ea.

Pentru lanțul cu patru, șapte și trei, ecuația este $(4x-7)/3=15$. Mersul invers și transformările ecuației exprimă aceleași operații. Nu sunt două reguli incompatibile, ci două prezentări ale aceluiași raționament.

Dacă înveți cu un profesor din anunțurile pentru meditații la matematică, poți cere rezolvarea aceleiași probleme în ambele forme. Compară fiecare săgeată din schemă cu rândul corespunzător din ecuație.

Exerciții cu răspunsuri explicate

1. Adaugi șase unui număr, apoi dublezi și obții 38. Numărul este 13: împarți 38 la doi și scazi șase.
2. Împarți un număr la cinci, apoi scazi patru și obții nouă. Numărul este 65: aduni patru și înmulțești cu cinci.
3. Dai jumătate dintr-un stoc, apoi încă trei obiecte și rămân 11. Inițial erau 28: reconstruiești 14, apoi dublezi.
4. Ridici un număr întreg la pătrat și obții 36. Fără altă condiție, ai două posibilități: 6 și −6.

Întrebări frecvente

Verificarea se face tot în sens invers?

Cel mai clar control este în sensul inițial al poveștii. Pornești de la candidatul găsit și refaci exact acțiunile descrise.

Unde pot exersa operațiile inverse?

Activitatea NRICH Doing and Undoing explorează desfacerea operațiilor. Lanțurile, stocurile și transferurile din acest articol sunt exemple construite separat.